Hierarchical Risk Parity: Portfolios aus Clustern bauen
Hierarchical Risk Parity (HRP) ist ein Verfahren zur Portfoliokonstruktion, das Marcos López de Prado 2016 vorgestellt hat. Es ordnet die Anlagen zuerst nach ihren Korrelationen in Gruppen (Cluster) und verteilt das Kapital dann von oben nach unten: zwischen Gruppen nach ihrem Risiko, innerhalb der Gruppen nach der inversen Varianz. Die Kovarianzmatrix muss dafür nicht invertiert werden. Das macht HRP robust gegen Schätzfehler.
Warum ein neues Verfahren?
Die klassische Optimierung nach Markowitz braucht die Inverse der Kovarianzmatrix. Sind viele Anlagen stark miteinander korreliert, ist diese Matrix schlecht konditioniert: Kleine Fehler in den geschätzten Korrelationen führen zu großen Ausschlägen der Gewichte, oft mit extremen Positionen oder Leerverkäufen. Michaud (1989) nannte Optimierer deshalb Fehlermaximierer, und DeMiguel u. a. (2009) zeigten, dass viele Optimierungsmodelle außerhalb der Stichprobe die simple Gleichgewichtung nicht verlässlich schlagen.
Gleichgewichtung und inverse Volatilität sind stabil, ignorieren aber die Korrelationen völlig. Zehn fast identische Aktienindizes bekämen zusammen zehnmal so viel Gewicht wie eine einzelne Anleihe. HRP setzt dazwischen an: Es nutzt die Struktur der Korrelationen, aber ohne die heikle Inversion.
Der Algorithmus in drei Schritten
- Clustering: Aus jeder Korrelation ρ wird eine Distanz d = √((1 − ρ) / 2). Hoch korrelierte Anlagen liegen nah beieinander. Ein hierarchisches Clusterverfahren fasst Schritt für Schritt die nächsten Anlagen und Gruppen zusammen; es entsteht ein Baum (Dendrogramm).
- Quasi-Diagonalisierung: Die Anlagen werden in der Reihenfolge der Blätter dieses Baums sortiert. Ähnliche Anlagen stehen nun nebeneinander, große Kovarianzen sammeln sich nahe der Diagonale der Matrix.
- Rekursive Halbierung: Die sortierte Liste wird halbiert. Jede Hälfte bekommt eine Clustervarianz V (mit Gewichten nach inverser Varianz innerhalb der Hälfte). Das Kapital wird im Verhältnis α = 1 − V₁ / (V₁ + V₂) auf die erste und 1 − α auf die zweite Hälfte verteilt. Das wiederholt sich in jeder Hälfte, bis einzelne Anlagen übrig sind.
Distanz: d_ij = √((1 − ρ_ij) / 2)
Clustervarianz: V = wᵀ Σ_C w mit w_i ∝ 1 / σ_i²
Aufteilung: α = 1 − V₁ / (V₁ + V₂)- ρ_ij
- Korrelation zweier Anlagen
- Σ_C
- Kovarianzmatrix der Anlagen eines Clusters
- α
- Kapitalanteil der ersten Hälfte
Das Ergebnis: Gruppen mit geringerem Risiko bekommen mehr Kapital, aber eine Gruppe aus zehn ähnlichen Aktienindizes wird als eine Gruppe behandelt und nicht zehnfach übergewichtet. Alle Gewichte sind positiv.
Rechenbeispiel mit vier Anlagen
Zwei Aktienindizes (Volatilität 16 % und 18 %, Korrelation 0,9) und zwei Anleihenindizes (5 % und 6 %, Korrelation 0,8); zwischen Aktien und Anleihen beträgt die Korrelation jeweils 0,1. Die Distanzen sind 0,22 innerhalb der Aktien, 0,32 innerhalb der Anleihen und 0,67 zwischen beiden Gruppen. Der Baum trennt also sofort Aktien von Anleihen.
Der Baum entsteht so: Das Clusterverfahren verbindet zuerst die beiden Aktienindizes (Distanz 0,22), dann die beiden Anleihenindizes (0,32) und zuletzt die beiden Gruppen (0,67). Die sortierte Reihenfolge lautet also Aktien 1, Aktien 2, Anleihen 1, Anleihen 2. Die erste Halbierung trennt genau die beiden Gruppen, die zweite jeweils die beiden Indizes einer Gruppe.
Zahlen aus dem Rechenbeispiel unten. Die Höhe einer Verzweigung entspricht der Distanz (0,22 innerhalb der Aktien, 0,32 innerhalb der Anleihen, 0,67 zwischen den Gruppen), die Strichstärke dem Kapitalanteil. Die erste Halbierung teilt nach den Clustervarianzen, die zweite innerhalb jedes Clusters nach inverser Varianz.
| Verfahren | Aktien 1 | Aktien 2 | Anleihen 1 | Anleihen 2 | Volatilität |
|---|---|---|---|---|---|
| HRP | 4,96 % | 3,92 % | 53,78 % | 37,35 % | 5,05 % |
| Minimum-Varianz (ohne Grenzen) | 8,24 % | −1,87 % | 87,18 % | 6,45 % | 4,88 % |
| Inverse Volatilität | 12,89 % | 11,46 % | 41,26 % | 34,38 % | 5,91 % |
| Risk Parity (gleiche Risikobeiträge) | 12,63 % | 11,23 % | 41,53 % | 34,61 % | 5,87 % |
Das Minimum-Varianz-Portfolio erreicht die niedrigste Volatilität, jedenfalls mit den geschätzten Zahlen. Dafür setzt es fast alles auf eine Anleihe und geht beim zweiten Aktienindex sogar leer, weil die beiden Aktienindizes so ähnlich sind, dass die Optimierung den einen gegen den anderen absichert. Eine kleine Änderung der Korrelation von 0,9 kann dieses Bild umkehren. HRP liegt in der Volatilität nah am Minimum, verteilt das Kapital aber ruhiger.
Für Fortgeschrittene: Eigenschaften und Varianten
- Keine Inversion: HRP rechnet nur mit Diagonalelementen innerhalb der Cluster und mit Clustervarianzen. Es funktioniert daher auch, wenn die Kovarianzmatrix singulär ist, etwa bei mehr Anlagen als Beobachtungen.
- Abhängigkeit vom Baum: Das ursprüngliche Verfahren nutzt Single Linkage; andere Verknüpfungen (Average, Ward) ergeben andere Bäume und damit andere Gewichte. Die rekursive Halbierung teilt die sortierte Liste in der Mitte, nicht zwingend entlang der Äste des Baums. Varianten wie Hierarchical Equal Risk Contribution folgen den Ästen.
- Kein Renditeziel: HRP nutzt keine erwarteten Renditen. Es ist ein Verfahren zur Risikoverteilung, verwandt mit Risk Parity und der inversen Varianz, nicht mit der Rendite-Risiko-Optimierung.
- Stabilität: Weil kleine Änderungen der Korrelationen meist nur die Feinstruktur des Baums verschieben, ändern sich die Gewichte von Monat zu Monat weniger als bei der Mittelwert-Varianz-Optimierung. Ganz stabil ist das Verfahren aber nicht: Springt eine Anlage in einen anderen Cluster, ändert sich ihr Gewicht deutlich.
In unserem Beispiel liegt HRP sehr nah an der reinen inversen Varianz (5,22 % / 4,13 % / 53,50 % / 37,15 %), weil die Gruppen klar getrennt sind. Der Unterschied wächst, wenn ein Cluster viele Mitglieder hat: Inverse Varianz würde zehn ähnliche Aktienindizes zehnfach zählen, HRP behandelt sie als eine Gruppe.
Was die Forschung zeigt
López de Prado (2016) stellt HRP als Antwort auf drei Schwächen quadratischer Optimierer vor: Instabilität, Konzentration und schwache Ergebnisse außerhalb der Stichprobe. In seinen Monte-Carlo-Experimenten hat HRP außerhalb der Stichprobe eine geringere Varianz als der Critical-Line-Algorithmus von Markowitz, obwohl dieser die minimale Varianz ausdrücklich anstrebt.
„HRP does not require the invertibility of the covariance matrix.“Ausführlicher, mit Code und weiteren Methoden aus dem maschinellen Lernen, beschreibt López de Prado (2018) das Verfahren. Die Grundprobleme, auf die HRP antwortet, sind gut belegt: Michaud (1989) zur Fehlermaximierung und DeMiguel u. a. (2009) zur Stärke der naiven Gleichgewichtung außerhalb der Stichprobe. Wie gut HRP in echten Portfolios gegenüber geschrumpften Kovarianzmatrizen oder einfachen Gewichtungen abschneidet, hängt stark vom Datensatz ab; ein genereller Sieger ist nicht belegt.
Praxis: Daten, Häufigkeit und Umsetzung
Für HRP brauchst du dieselben Zutaten wie für jede risikobasierte Gewichtung: eine Historie der Renditen, aus der Volatilitäten und Korrelationen geschätzt werden. Monatsrenditen über fünf Jahre sind ein üblicher Ausgangspunkt; Tagesrenditen liefern mehr Beobachtungen, sind aber bei Anlagen aus verschiedenen Zeitzonen zeitlich versetzt und unterschätzen dann die Korrelation. Die Clusterstruktur von Aktien, Anleihen und Rohstoffen ist meist über Jahre stabil, die Gewichte innerhalb der Cluster verschieben sich mit den Volatilitäten.
Neu berechnet wird typischerweise monatlich oder quartalsweise. Weil HRP ruhiger reagiert als eine Mittelwert-Varianz-Optimierung, bleibt der Umschlag meist gering. Ein Toleranzband (erst umschichten, wenn ein Gewicht deutlich vom Ziel abweicht) senkt die Kosten zusätzlich, wie im Artikel Rebalancing beschrieben. Wer HRP mit einem Renditeziel verbinden will, skaliert das Portfolio anschließend: etwa mit Hebel auf eine Zielvolatilität oder durch eine Mischung mit einem Aktienportfolio.
Grenzen und typische Fehler
- Simulationen sind nicht die Praxis: Die Vorteile stammen vor allem aus Monte-Carlo-Studien mit bekannten Verteilungen. Mit realen, sich ändernden Korrelationen sind die Unterschiede zu einfachen Verfahren oft klein.
- Kovarianz wird trotzdem geschätzt: HRP ist robuster, aber nicht immun gegen schlechte Daten. Kurze Historien und Ausreißer verzerren auch die Cluster.
- Wenige Anlagen, wenig Nutzen: Bei drei oder vier klar getrennten Anlageklassen unterscheidet sich HRP kaum von inverser Varianz. Sein Vorteil zeigt sich bei vielen, ähnlichen Anlagen.
- Kein Hebel, kein Renditeziel: Wer eine bestimmte Rendite oder Volatilität erreichen will, muss das Ergebnis anschließend skalieren.
So rechnet Portfolio Lab
Portfolio Lab bietet HRP bisher nicht als eigene Zielfunktion an. Die Optimierung hat mit „Risk Parity (gleiche Risikobeiträge)“, „Min. Varianz“ und „Max. Diversifikation“ drei Verfahren ohne Renditeschätzung; die Kovarianzmatrix wird voreingestellt mit Ledoit-Wolf-Shrinkage geschätzt, was die Instabilität der Stichprobenmatrix ebenfalls mildert. Mit Mindest- und Höchstgewichten lassen sich extreme Positionen begrenzen; Leerverkäufe sind ausgeschlossen. Den Test außerhalb der Stichprobe übernimmt der rollierende Modus. Wie das genau funktioniert, steht in der Methodik der Optimierung.
Häufige Fragen
Was ist Hierarchical Risk Parity?
Ein Verfahren, das Anlagen nach Korrelationen in Gruppen ordnet und das Kapital von oben nach unten nach dem Risiko der Gruppen verteilt, ohne die Kovarianzmatrix zu invertieren.
Ist HRP besser als Markowitz?
In Simulationen mit Schätzfehlern war HRP außerhalb der Stichprobe stabiler und schwankungsärmer. Mit echten Daten ist der Vorteil kleiner und hängt vom Datensatz ab.
Was ist der Unterschied zu Risk Parity?
Risk Parity sucht gleiche Risikobeiträge aller Anlagen und braucht dafür die ganze Kovarianzmatrix. HRP verteilt hierarchisch zwischen Gruppen und nutzt innerhalb der Gruppen die inverse Varianz.
Welche Distanz nutzt HRP?
d = √((1 − ρ) / 2). Eine Korrelation von 1 ergibt die Distanz 0, eine Korrelation von −1 die Distanz 1.
Welche Anlagen eignen sich für HRP?
Vor allem viele, teils ähnliche Anlagen, etwa Dutzende Länder- oder Branchenindizes. Bei wenigen, klar getrennten Anlageklassen unterscheidet sich das Ergebnis kaum von einfacher inverser Varianz.
Kann ich HRP in Portfolio Lab rechnen?
Noch nicht direkt. Risk Parity mit Ledoit-Wolf-Schätzung und Gewichtsgrenzen kommt dem Ziel einer robusten Risikoverteilung am nächsten.
Literatur
- DeMiguel, Victor; Garlappi, Lorenzo; Uppal, Raman (2009): Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient is the 1/ N Portfolio Strategy?. Review of Financial Studies 22 (5), S. 1915–1953. doi:10.1093/rfs/hhm075
- López de Prado, Marcos (2016): Building Diversified Portfolios that Outperform Out of Sample. The Journal of Portfolio Management 42 (4), S. 59–69. doi:10.3905/jpm.2016.42.4.059
- López de Prado, Marcos (2018): Advances in Financial Machine Learning. Wiley.
- Michaud, Richard O. (1989): The Markowitz Optimization Enigma: Is 'Optimized' Optimal?. Financial Analysts Journal 45 (1), S. 31–42. doi:10.2469/faj.v45.n1.31
Dieser Artikel erklärt eine Methode; er ist keine Anlage- oder Steuerberatung. Zahlenbeispiele sind vereinfacht und gerundet. Alle Begriffe im Glossar.