Optimierungsmethodik: Schätzung, Zielfunktionen, Black-Litterman, Resampling und Walk-forward

Fortgeschritten8 Min. Lesezeit · aktualisiert am 25. Oktober 2026 · 16 Quellen

Diese Optimierungsmethodik erklärt, was die Seite Optimierung rechnet: wie sie erwartete Renditen und die Kovarianzmatrix aus Monatsdaten schätzt, welche acht Zielfunktionen es gibt, wie Black-Litterman eigene Einschätzungen einmischt, wie das Resampling nach Michaud die Schätzunsicherheit einrechnet und wie der Walk-forward-Test prüft, ob ein optimiertes Portfolio auch außerhalb der Schätzperiode trägt.

Daten und Schätzung

Die Optimierung rechnet immer mit Monatsrenditen aller Wertpapiere im Raster über den gemeinsamen Zeitraum. Die erwartete Rendite je Wertpapier ist das arithmetische Mittel der Monatsrenditen × 12, die Kovarianzmatrix wird × 12 annualisiert. Für die Kovarianz gibt es zwei Verfahren:

• Stichprobe: die übliche Kovarianzmatrix mit Teiler T − 1.
• Ledoit-Wolf (Voreinstellung): die Stichprobenmatrix wird zu einer Zielmatrix hin geschrumpft, hier mit der Durchschnittsvarianz auf der Diagonale und null Kovarianz. Die Shrinkage-Intensität wird aus den Daten geschätzt (Ledoit und Wolf 2004); sie ist umso größer, je verrauschter die Schätzung im Verhältnis zur Länge der Reihe ist.

Warum Shrinkage hilft, ist gut belegt: Optimierer verstärken Schätzfehler (Michaud (1989) nennt sie deshalb Fehlermaximierer), und DeMiguel u. a. (2009) zeigen, dass viele Verfahren außerhalb der Stichprobe nicht besser sind als gleiche Gewichte. Mehr dazu im Artikel Kovarianzschätzung.

Zielfunktionen

Gewichte summieren sich zu 100 %, Leerverkäufe sind ausgeschlossen. Je Wertpapier lassen sich Mindest- und Höchstgewichte setzen; sind sie unvereinbar (etwa Minima über 100 %), meldet die App das. Gelöst wird mit sequentieller quadratischer Programmierung (SLSQP), Min-CVaR mit einem linearen Programm.

Der risikofreie Zins für die Sharpe Ratio ist der feste Satz aus den Einstellungen oder der Durchschnitt des Geldmarktzinses im Zeitraum. Risk Parity folgt Maillard u. a. (2010), die maximale Diversifikation Choueifaty und Coignard (2008). Min-CVaR nutzt die Formulierung von Rockafellar und Uryasev (2000): Mit einer Hilfsvariablen α für den VaR wird das Problem linear und lässt sich direkt auf den historischen Monaten lösen, ohne eine Verteilung anzunehmen.

Effizienzlinie und Ex-ante-Kennzahlen

Die Effizienzlinie besteht aus 40 Portfolios mit minimaler Varianz für Zielrenditen zwischen der Rendite des Minimum-Varianz-Portfolios und der höchsten Rendite, die unter den Gewichtsgrenzen möglich ist. Erwartete Rendite, Volatilität und Sharpe Ratio des Ergebnisses sind historische Schätzungen aus denselben Daten, keine Prognose. Das Diagramm zeigt zusätzlich die Einzelwerte und das gleichgewichtete Portfolio; die Tabelle die Risikobeiträge w_i (Σw)_i / wᵀΣw. Die Idee geht auf Markowitz (1952) zurück, siehe Effizienzlinie.

Black-Litterman

Statt historischer Mittelwerte startet Black-Litterman bei den Renditen, die der Markt implizit erwartet (Black und Litterman 1992). Als Marktgewichte dient ein gewähltes Portfolio aus dem Raster oder, ohne Auswahl, die Gleichgewichtung. Die Umsetzung folgt He und Litterman (1999) und der Vertrauensangabe nach Idzorek (2007):

1. Gleichgewichtsüberrenditen Π = δ × Σ × w_Markt mit Risikoaversion δ (Voreinstellung 2,5; auf Wunsch aus dem Markt geschätzt als Überrendite / Varianz des Marktportfolios, begrenzt auf 0,5 bis 10).
2. Einschätzungen absolut („A bringt 7 % p. a.“) oder relativ („A schlägt B um 2 %“), jeweils mit Vertrauen c zwischen 1 und 100 %.
3. Unsicherheit je Einschätzung ω = (1 − c) / c × p τΣ pᵀ mit τ = 0,05. Bei c = 50 % zählt die Einschätzung so viel wie der Markt, bei 100 % wird sie genau übernommen.
4. Posterior μ_BL = Π + τΣPᵀ (PτΣPᵀ + Ω)⁻¹ (Q − PΠ).
5. Gewichte: maximiere w·μ_BL − δ/2 × wᵀΣw unter Budget und Grenzen. Ohne Einschätzungen kommen genau die Marktgewichte heraus.

Resampling nach Michaud

Der klassische Optimierer nimmt die geschätzten Renditen und Kovarianzen als exakt. Schon kleine Schätzfehler kippen die Gewichte, vor allem über die erwarteten Renditen (Best und Grauer 1991; Chopra und Ziemba 1993). Resampling rechnet diese Unsicherheit ein: Die beobachtete Geschichte gilt als eine von vielen, die genauso hätten passieren können. Die App simuliert viele davon, optimiert jede und mittelt die Gewichte. Das ist das Verfahren, das Michaud und Michaud (2008) ausführlich beschreiben. In der App heißt es „Resampling (Michaud)“, weil „Resampled Efficiency“ ein Markenname ist. So rechnet die dritte Methode der Seite:

1. Schätzung: μ̂ und Σ̂ aus den Monatsrenditen wie oben (Mittel × 12, Kovarianz × 12), als Stichprobe oder nach Ledoit-Wolf.
2. Simulation: 300 Datensätze (wählbar 50 bis 1.000) mit so vielen Monaten wie die Historie, mindestens 24. Voreingestellt ist die Normalverteilung wie bei Michaud: Monate aus N(μ̂/12, Σ̂/12). Der Bootstrap der Monate zieht stattdessen ganze Monatszeilen der echten Daten mit Zurücklegen; so bleiben gemeinsame Krisenmonate, Schiefe und Fat Tails erhalten.
3. Neu schätzen und optimieren: Je Datensatz entstehen μ̃ und Σ̃ mit demselben Kovarianzverfahren, dann die Effizienzlinie unter denselben Min/Max-Grenzen an 25 Punkten (wählbar 10 bis 40), gleichmäßig in der erwarteten Rendite vom Minimum-Varianz-Portfolio (Rang 1) bis zum Portfolio mit der höchsten Rendite (Rang 25).
4. Mitteln je Rang: Die Gewichte gleichen Rangs, über alle Simulationen gemittelt, ergeben die resampelte Effizienzlinie. Bewertet wird sie wie die klassische mit den ursprünglichen μ̂ und Σ̂.
5. Auswahl: entweder der Punkt mit der höchsten Sharpe Ratio (risikofreier Zins wie klassisch) oder der Punkt mit der höchsten Rendite, dessen Volatilität die Zielvolatilität (Voreinstellung 10 % p. a.) nicht übersteigt. Liegt das Ziel unter der kleinsten Volatilität der Linie, nimmt die App Rang 1 und sagt das.

Die Effizienzlinie jeder Simulation berechnet die App mit dem Critical-Line-Algorithmus nach Markowitz: Er folgt dem Optimum von der höchsten Rendite bis zum Minimum-Varianz-Portfolio über die Eckportfolios, zwischen denen die Gewichte linear in der Rendite verlaufen. Das ist exakt und schnell genug für Hunderte Linien in Bruchteilen einer Sekunde; nur bei entarteten Daten, etwa zwei identischen Wertpapieren, springt SLSQP ein. Zum Vergleich stehen klassische Gewichte nach derselben Regel daneben: Max. Sharpe Ratio bzw. Max. Rendite bei Zielvolatilität mit denselben Grenzen.

Streuung: Am gewählten Rang zeigt die App je Wertpapier das 5., 25., 50., 75. und 95. Perzentil der Gewichte über die Simulationen. Ein breites Band heißt: Die Daten legen dieses Gewicht kaum fest. Das resampelte Gewicht ist der Mittelwert, nicht der Median. Weil einzelne Simulationen oft bei 0 % oder am Höchstgewicht landen, können beide weit auseinanderliegen. Der Reiter Zusammensetzung zeigt die Gewichte über alle Ränge: Klassisch springen sie zwischen wenigen Bausteinen, gemittelt gleiten sie.

Startwert: Der Zufall hängt an einem festen Startwert (Voreinstellung 1989, wählbar 0 bis 999.999). Gleiche Eingaben liefern dasselbe Ergebnis; ein anderer Startwert zeigt, wie stark das Ergebnis vom Zufall abhängt. Mit 300 Simulationen sind es meist wenige Prozentpunkte je Gewicht, mehr Simulationen verringern das.

Backtest: In-Sample laufen die resampelten Gewichte gegen die klassischen und die Gleichgewichtung, vierteljährlich rebalanciert. Rollierend rechnet die App in jedem Fenster neu wie im nächsten Abschnitt: Resampling mit 100 Simulationen je Fenster (bei vielen Fenstern weniger, zusammen höchstens etwa 6.000, aber mindestens 30 je Fenster) und demselben Startwert in allen Fenstern, damit sich die Gewichte wegen neuer Daten und kaum wegen neuen Zufalls ändern. Daneben steht die klassische Optimierung nach derselben Regel. Der Umschlag zeigt, wie stark die Zielgewichte je Neuoptimierung wechseln (halbe Summe der absoluten Änderungen) und wie viel der Backtest p. a. umschichtet.

Was das bringt, ist umstritten. Scherer (2002) ordnet Resampling als durchdachte Heuristik gegen Schätzfehler ein, deren Eigenheiten die Deutung erschweren. In der großen Simulationsstudie von Becker u. a. (2015) schneidet die klassische Optimierung im Mittel nicht schlechter ab; wichtiger sind Schätzer und Gewichtsgrenzen. Sicher ist nur: Mit den ursprünglichen Schätzungen bewertet liegt die resampelte Linie nie über der klassischen. Sie ist breiter gestreut, nicht in-sample besser. Mehr im Artikel Resampling-Optimierung.

Backtest der Gewichte und Walk-forward

Die gefundenen Gewichte laufen im Backtest gegen die Gleichgewichtung, quartalsweise rebalanciert. Das ist ein In-Sample-Test: Die Gewichte kennen die Zukunft des Zeitraums, aus dem sie geschätzt wurden, und sehen deshalb fast immer gut aus.

Ehrlicher ist der Walk-forward-Test: Alle 12 Monate (wählbar 1, 3, 6 oder 12) optimiert die App neu, jeweils nur mit den letzten 60 Monaten (wählbar 24 bis 180) und dem Durchschnittszins dieses Fensters. Die neuen Gewichte gelten ab dem Ende des Fensters; dazwischen wird monatlich auf sie zurückgesetzt. Verglichen wird mit der Gleichgewichtung ab demselben Start. So zeigt sich, was die Optimierung ohne Vorwissen gebracht hätte. Das ist das Thema des Artikels Backtest-Overfitting.

Grenzen

• Erwartete Renditen aus der Vergangenheit sind die größte Fehlerquelle; kleine Änderungen verschieben die Gewichte stark.
• Die Kovarianz ist über den ganzen Zeitraum konstant, obwohl in Krisen Korrelationen steigen.
• Min-CVaR nutzt nur die beobachteten Monate; seltene Extreme außerhalb des Zeitraums kennt es nicht.
• Gewichtsgrenzen wirken wie zusätzliches Shrinkage (Jagannathan und Ma 2003) und sind oft robuster als ein freies Optimum.
• Resampling mittelt Schätzfehler, korrigiert aber keine verzerrte Schätzung: Alle Simulationen streuen um μ̂ und Σ̂.

Diese Seite beschreibt, wie Portfolio Lab rechnet; Ergebnisse aus der Vergangenheit sind keine Prognose. Alle Begriffe im Glossar.