Kovarianzschätzung: Warum Optimierer Shrinkage brauchen
Jede Portfolio-Optimierung braucht eine Kovarianzschätzung: Volatilitäten und Korrelationen aller Anlagen, zusammengefasst in der Kovarianzmatrix. Aus historischen Renditen geschätzt ist diese Matrix voller Zufallsfehler, und ein Optimierer nutzt genau diese Fehler aus. Die Shrinkage nach Ledoit und Wolf zieht die geschätzte Matrix ein Stück zu einer einfachen Zielmatrix hin und macht die Ergebnisse deutlich stabiler.
Das Problem: zu viele Parameter, zu wenig Daten
Eine Kovarianzmatrix für N Anlagen hat N Varianzen und N × (N − 1) / 2 Kovarianzen, zusammen N × (N + 1) / 2 Zahlen. Diese müssen alle aus derselben Renditehistorie geschätzt werden:
| Anzahl Anlagen | zu schätzende Größen | Monatsrenditen in zehn Jahren |
|---|---|---|
| 10 | 55 | 120 |
| 100 | 5.050 | 120 |
| 500 | 125.250 | 120 |
Schon bei 100 Anlagen stehen 5.050 Schätzwerte 120 Beobachtungen je Anlage gegenüber. Gibt es mehr Anlagen als Beobachtungen, ist die Stichproben-Kovarianzmatrix sogar singulär: Sie lässt sich nicht invertieren, und ein Optimierer findet scheinbar risikolose Kombinationen, die es in Wirklichkeit nicht gibt. Auch vorher schon sind die kleinsten Eigenwerte systematisch zu klein und die größten zu groß geschätzt.
Das wäre harmlos, wenn die Fehler zufällig im Portfolio verteilt wären. Doch ein Mittelwert-Varianz-Optimierer sucht gezielt die Richtungen, in denen das Risiko am kleinsten scheint, also genau dort, wo die Schätzung am stärksten nach unten danebenliegt. Michaud (1989) nannte Optimierer deshalb Fehlermaximierer.
Die Lösung: Shrinkage
Shrinkage (Schrumpfung) mischt die Stichprobenmatrix S mit einer einfachen Zielmatrix F, die kaum Schätzfehler hat, dafür aber vereinfacht ist. Die Mischung tauscht etwas Verzerrung gegen viel weniger Streuung. Das ist ein klassischer Kompromiss der Statistik.
Σ̂ = δ × F + (1 − δ) × S- S
- Stichproben-Kovarianzmatrix
- F
- Zielmatrix, z. B. mittlere Varianz × Einheitsmatrix oder konstante Korrelation
- δ
- Shrinkage-Intensität zwischen 0 und 1
Die Kunst liegt in δ. Ledoit und Wolf (2004) haben eine Formel hergeleitet, die δ allein aus den Daten bestimmt: Sie vergleicht, wie stark die Einzelbeobachtungen um S streuen (Unsicherheit der Schätzung), mit dem Abstand zwischen S und F (Kosten der Vereinfachung). Je kürzer die Historie und je mehr Anlagen, desto stärker das Shrinkage.
d² = ‖S − F‖²
b̄² = (1 / T²) × Σ_t ‖x_t x_tᵀ − S‖²
δ = min(b̄², d²) / d²- x_t
- um den Mittelwert bereinigte Renditen der Periode t
- T
- Anzahl der Perioden
- ‖·‖
- Frobenius-Norm (Wurzel der Quadratsumme aller Einträge)
Als Ziel F dient in der Arbeit von 2004 für große Matrizen die Einheitsmatrix mal der mittleren Varianz: Alle Varianzen werden zum Durchschnitt hin gezogen, alle Kovarianzen zu null. In ihrem Aufsatz für Praktiker schlagen Ledoit und Wolf (2004) als Ziel ein Modell mit konstanter Korrelation vor, das für Aktienportfolios oft besser passt, weil Aktien fast immer positiv korrelieren.
Rechenbeispiel mit drei Aktienfonds
Drei Aktienfonds haben Volatilitäten von 20 %, 18 % und 16 % und Korrelationen von 0,85 (Fonds 1 und 2), 0,60 (1 und 3) und 0,70 (2 und 3). Zur Anschauung schrumpfen wir mit δ = 0,3 zum Ziel „mittlere Varianz × Einheitsmatrix“. Die Varianzen in Prozent zum Quadrat sind 400, 324 und 256, ihr Mittel 326,7.
Das Beispiel zeigt auch die Kehrseite des einfachen Ziels: Die Korrelationen sinken deutlich, obwohl die drei Aktienfonds in Wirklichkeit stark zusammenhängen. Bei echten Daten fällt δ nach der Ledoit-Wolf-Formel meist kleiner aus als 0,3, wenn viele Beobachtungen vorliegen; bei kurzen Historien und vielen Anlagen kann es größer sein.
Für Fortgeschrittene: weitere Schätzverfahren
- Konstante Korrelation: Ziel ist eine Matrix mit den echten Varianzen und einer gemeinsamen, durchschnittlichen Korrelation. Varianzen bleiben unverändert, nur die Korrelationen werden zum Mittel gezogen.
- Faktormodelle: Die Kovarianz wird aus wenigen Faktoren (Markt, Größe, Value, Branchen) und einem Rest je Anlage zusammengesetzt. Statt N × (N + 1) / 2 Größen sind nur Faktorladungen, Faktorkovarianzen und Restvarianzen zu schätzen.
- Gewichtung nach Aktualität: Exponentiell gewichtete Schätzer zählen jüngere Renditen stärker und reagieren schneller auf Volatilitätsphasen, allerdings auf Kosten größerer Schätzfehler.
- Eigenwert-Bereinigung: Verfahren aus der Zufallsmatrixtheorie (Random Matrix Theory) behandeln die kleinen Eigenwerte als Rauschen und ersetzen sie durch ihren Durchschnitt. Neuere nichtlineare Shrinkage-Verfahren schrumpfen jeden Eigenwert einzeln.
- Gewichtsgrenzen: Jagannathan und Ma (2003) zeigen, dass ein Verbot von Leerverkäufen wie Shrinkage der Kovarianzmatrix wirkt. Mit dieser Grenze schnitt die einfache Stichprobenmatrix in ihren Tests so gut ab wie Faktormodelle und Shrinkage.
Wichtig ist die Rangfolge der Fehler: Chopra und Ziemba (1993) zeigen, dass Fehler in den erwarteten Renditen das optimierte Portfolio um ein Vielfaches stärker verzerren als Fehler in Varianzen und Kovarianzen. Best und Grauer (1991) fanden, dass schon eine kleine Erhöhung der erwarteten Rendite einer einzigen Anlage die Hälfte der Wertpapiere aus dem optimalen Portfolio drängen kann. Shrinkage der Kovarianz löst also nur einen Teil des Problems. Deshalb sind Verfahren ohne Renditeschätzung wie Minimum-Varianz und Risk Parity oder das Black-Litterman-Modell für die Renditen so beliebt.
Was die Forschung zeigt
„no one should use the sample covariance matrix for portfolio optimization“So zugespitzt formulieren es Ledoit und Wolf (2004) selbst. Ihre Begründung: Die Stichprobenmatrix hat genau die Art von Schätzfehlern, die einen Optimierer am stärksten in die Irre führt; das Shrinkage zieht die extremsten Einträge zu zentraleren Werten und senkt den Fehler dort, wo er am meisten schadet. In ihren Tests sinkt der Tracking Error gegenüber einem Vergleichsindex, und die realisierte Information Ratio steigt deutlich.
DeMiguel u. a. (2009) mahnen zur Bescheidenheit: Selbst mit verbesserten Schätzern schlugen die getesteten Optimierungsmodelle außerhalb der Stichprobe die naive Gleichgewichtung nicht verlässlich. Ihre Simulationen zeigen, dass für eine Mittelwert-Varianz-Strategie mit vielen Anlagen ein sehr langes Schätzfenster nötig wäre, und zwar länger, als es Daten gibt. Die Schätzung der Kovarianz ist dabei das kleinere Problem, die der Renditen das größere.
Wie lang sollte das Schätzfenster sein?
Längere Fenster liefern mehr Beobachtungen und damit kleinere Zufallsfehler, mischen aber Phasen, die mit heute wenig zu tun haben. Kürzere Fenster passen sich schneller an, schwanken aber stärker und führen zu häufigerem Umschichten. Eine Faustregel aus der Statistik: Die Unsicherheit einer geschätzten Volatilität sinkt nur mit der Wurzel der Anzahl der Beobachtungen. Viermal so viele Monate halbieren den Fehler.
Für Korrelationen ist die Lage schwieriger, weil sie sich über die Zeit tatsächlich ändern. Fünf Jahre Monatsdaten (60 Beobachtungen) sind ein verbreiteter Kompromiss; bei vielen Anlagen ist Shrinkage dann fast unverzichtbar. Wer prüfen will, wie empfindlich ein Ergebnis auf das Fenster reagiert, rechnet dieselbe Optimierung mit 36, 60 und 120 Monaten. Ändern sich die Gewichte stark, ist das Ergebnis eher Zufall als Information.
Grenzen und typische Fehler
- Shrinkage ersetzt keine Daten: Eine zu kurze oder untypische Historie (nur Bullenmarkt) bleibt untypisch, auch wenn die Matrix stabiler wird.
- Das Ziel bestimmt die Richtung: Das Einheitsziel zieht Korrelationen zu null und lässt eng verwandte Anlagen unabhängiger erscheinen, als sie sind.
- Zeitliche Versetzung: Tagesrenditen von Märkten in verschiedenen Zeitzonen unterschätzen die Korrelation, weil die Kurse zu verschiedenen Uhrzeiten festgestellt werden. Monats- oder Wochenrenditen sind dafür robuster.
- Korrelationen ändern sich: In Krisen steigen sie oft gleichzeitig (Korrelation und Diversifikation). Eine Matrix aus ruhigen Jahren unterschätzt das Krisenrisiko.
- Glatte Bewertungen: Selten bewertete Anlagen haben zu niedrige Varianzen und Korrelationen; jede Schätzung übernimmt diese Verzerrung.
So rechnet Portfolio Lab
In der Optimierung ist „Ledoit-Wolf (Shrinkage)“ als Kovarianzschätzung voreingestellt; alternativ gibt es die Stichprobe. Portfolio Lab nutzt die Variante mit dem Ziel „mittlere Varianz × Einheitsmatrix“ und bestimmt δ mit der Formel oben aus den um den Mittelwert bereinigten Monatsrenditen des Schätzfensters. Die Stichprobenmatrix wird dabei durch T geteilt, die einfache Stichprobe durch T − 1. Beide Matrizen werden mit 12 auf ein Jahr hochgerechnet.
Dieselbe Schätzung gilt für Effizienzlinie, Risk Parity, Minimum-Varianz, Maximum-Diversifikation und das Black-Litterman-Modell. Im rollierenden Modus wird sie für jedes Fenster neu berechnet (voreingestellt 60 Monate, wählbar 24 bis 180), nur mit den Daten bis zum jeweiligen Zeitpunkt. Die Korrelationstabellen der Asset-Analyse zeigen dagegen die ungeschrumpften Korrelationen der Stichprobe. Mehr in der Methodik der Optimierung.
Häufige Fragen
Was ist Shrinkage bei der Kovarianzmatrix?
Eine Mischung aus der geschätzten Matrix und einer einfachen Zielmatrix. Sie dämpft extreme Schätzwerte und macht Optimierungen stabiler.
Wie wird die Shrinkage-Intensität bestimmt?
Bei Ledoit-Wolf aus den Daten selbst: Je unsicherer die Stichprobenmatrix und je näher sie am Ziel liegt, desto stärker wird geschrumpft.
Wann ist die Kovarianzmatrix singulär?
Wenn es mehr Anlagen als Beobachtungen gibt oder eine Anlage eine exakte Kombination anderer ist. Dann lässt sie sich nicht invertieren.
Reicht Shrinkage, um Optimierungen robust zu machen?
Nein. Die größeren Fehler stecken in den erwarteten Renditen. Shrinkage hilft vor allem bei Verfahren, die nur die Kovarianz nutzen, etwa Minimum-Varianz oder Risk Parity.
Was ist eine gut konditionierte Kovarianzmatrix?
Eine Matrix, deren größter und kleinster Eigenwert nicht zu weit auseinanderliegen. Dann reagieren Optimierungen weniger empfindlich auf kleine Fehler in den Daten.
Monats- oder Tagesdaten?
Tagesdaten liefern mehr Beobachtungen, sind aber bei Märkten in verschiedenen Zeitzonen zeitlich versetzt. Monatsdaten sind robuster, aber knapper.
Literatur
- Best, Michael J.; Grauer, Robert R. (1991): On the Sensitivity of Mean-Variance-Efficient Portfolios to Changes in Asset Means: Some Analytical and Computational Results. Review of Financial Studies 4 (2), S. 315–342. doi:10.1093/rfs/4.2.315
- Chopra, Vijay Kumar.; Ziemba, William T. (1993): The Effect of Errors in Means, Variances, and Covariances on Optimal Portfolio Choice. The Journal of Portfolio Management 19 (2), S. 6–11. doi:10.3905/jpm.1993.409440
- DeMiguel, Victor; Garlappi, Lorenzo; Uppal, Raman (2009): Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient is the 1/ N Portfolio Strategy?. Review of Financial Studies 22 (5), S. 1915–1953. doi:10.1093/rfs/hhm075
- Jagannathan, Ravi; Ma, Tongshu (2003): Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps. The Journal of Finance 58 (4), S. 1651–1683. doi:10.1111/1540-6261.00580
- Ledoit, Olivier; Wolf, Michael (2004): A well-conditioned estimator for large-dimensional covariance matrices. Journal of Multivariate Analysis 88 (2), S. 365–411. doi:10.1016/s0047-259x(03)00096-4
- Ledoit, Olivier; Wolf, Michael (2004): Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix. The Journal of Portfolio Management 30 (4), S. 110–119. doi:10.3905/jpm.2004.110
- Michaud, Richard O. (1989): The Markowitz Optimization Enigma: Is 'Optimized' Optimal?. Financial Analysts Journal 45 (1), S. 31–42. doi:10.2469/faj.v45.n1.31
Dieser Artikel erklärt eine Methode; er ist keine Anlage- oder Steuerberatung. Zahlenbeispiele sind vereinfacht und gerundet. Alle Begriffe im Glossar.