Effizienzlinie: Portfolio-Optimierung nach Markowitz

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Die Effizienzlinie (Efficient Frontier) verbindet alle Portfolios, die für ihr Risiko die höchste erwartete Rendite bieten. Harry Markowitz hat das Prinzip 1952 beschrieben und damit die moderne Portfoliotheorie begründet: Nicht die einzelne Anlage zählt, sondern wie sie mit den anderen zusammenwirkt. In der Praxis ist die Optimierung allerdings berüchtigt empfindlich. Wer sie nutzt, sollte ihre Schwächen kennen.

Die Idee: Rendite und Risiko gemeinsam

Markowitz (1952) schlug vor, Portfolios nicht nach der erwarteten Rendite allein zu beurteilen, sondern nach Rendite und Varianz zugleich. Ein Portfolio ist effizient, wenn es kein anderes gibt, das bei gleichem Risiko mehr erwartete Rendite oder bei gleicher Rendite weniger Risiko bietet. Die Menge dieser Portfolios bildet im Diagramm aus Volatilität (waagerecht) und erwarteter Rendite (senkrecht) eine nach links gewölbte Kurve. Sieben Jahre später legte er mit Markowitz (1959) eine Buchfassung mit Rechenverfahren für viele Anlagen vor.

Die erwartete Rendite ist einfach der gewichtete Durchschnitt. Die Varianz dagegen hängt von allen Paaren ab, und weil die Korrelation meist unter 1 liegt, ist die Volatilität des Portfolios kleiner als der Durchschnitt der Einzelvolatilitäten. Das ist der mathematische Kern der Diversifikation.

Ein Beispiel mit zwei Anlagen

Aktien mit 7 % erwarteter Rendite und 16 % Volatilität, Anleihen mit 2 % und 5 %, Korrelation 0,1. Mischt man beide, entsteht eine gekrümmte Linie. Die Krümmung kommt aus der Korrelation.

Das reine Anleihen-Portfolio ist nicht effizient: Mit 6,4 % Aktien sinkt das Risiko sogar und die Rendite steigt. Alles unterhalb des Minimum-Varianz-Portfolios liegt nicht auf der Effizienzlinie. Für zwei Anlagen gibt es dafür eine geschlossene Formel:

Eingesetzt: (0,0025 − 0,0008) / (0,0281 − 0,0016) = 0,0017 / 0,0265 = 6,4 %. Die Formel zeigt auch, warum das Minimum-Varianz-Portfolio ohne Renditeschätzung auskommt: Es braucht nur Volatilitäten und Korrelationen.

Tangentialportfolio: die höchste Sharpe Ratio

Gibt es zusätzlich eine risikofreie Anlage (hier 1 %), ist das Portfolio mit der höchsten Sharpe Ratio besonders: Jede Mischung aus ihm und Tagesgeld ist besser als jedes andere Portfolio mit gleichem Risiko.

Tobin (1958) zog daraus eine weitreichende Folgerung, das Separationstheorem: Alle Anleger, die dieselben Erwartungen haben, sollten dasselbe Portfolio riskanter Anlagen halten. Ihr unterschiedlicher Risikoappetit zeigt sich nur darin, wie viel sie davon halten und wie viel in der sicheren Anlage oder ob sie mit Kredit hebeln. Die Gerade vom risikofreien Zins durch das Tangentialportfolio heißt Kapitalmarktlinie. Aus genau diesem Gedanken entwickelte Sharpe (1964) das CAPM.

Das Problem: Schätzfehler

Die Theorie setzt voraus, dass erwartete Renditen, Volatilitäten und Korrelationen bekannt sind. In Wirklichkeit werden sie geschätzt, meist aus der Vergangenheit, und die Optimierung reagiert auf diese Schätzungen extrem empfindlich. Michaud (1989) nannte Mittelwert-Varianz-Optimierer deshalb Fehlermaximierer: Sie übergewichten gerade die Anlagen, deren Rendite zufällig überschätzt und deren Risiko unterschätzt wurde.

Genau dieses Muster beschreiben Best und Grauer (1991): Schon eine kleine Änderung der erwarteten Rendite einer einzigen Anlage kann die Hälfte der Wertpapiere aus dem optimalen Portfolio werfen, während sich dessen Rendite und Risiko kaum ändern. Laut Chopra und Ziemba (1993) wiegen Fehler in den erwarteten Renditen um ein Vielfaches schwerer als Fehler in Varianzen und Kovarianzen. Und DeMiguel u. a. (2009) fanden unter 14 Optimierungsmodellen keines, das außerhalb der Stichprobe die einfache Gleichgewichtung 1/N verlässlich schlägt. Der Gewinn aus optimaler Streuung geht im Schätzfehler unter.

Gegenmittel: robustere Optimierung

• Minimum-Varianz: braucht nur Volatilitäten und Korrelationen, keine Renditeschätzung.
• Gewichtsgrenzen: etwa höchstens 40 % je Anlage und keine Leerverkäufe. Jagannathan und Ma (2003) zeigen, dass solche Grenzen wie Shrinkage der Kovarianzmatrix wirken und das Risiko senken können, selbst wenn sie streng genommen falsch sind.
• Shrinkage der Kovarianzmatrix: extreme Schätzwerte zu einem einfachen Ziel hin ziehen (Ledoit-Wolf, siehe unten und Kovarianzschätzung).
• Risikobasierte Verfahren: Risk Parity mit gleichen Risikobeiträgen (Maillard u. a. 2010) oder das Maximum-Diversification-Portfolio von Choueifaty und Coignard (2008), das das Verhältnis aus gewichteter Einzelvolatilität und Portfoliovolatilität maximiert.
• Andere Risikomaße: Minimum-CVaR nach Rockafellar und Uryasev (2000) optimiert direkt den durchschnittlichen Verlust in den schlechtesten 5 % der Monate statt der Varianz.
• Black-Litterman: startet bei den Marktgewichten und ergänzt eigene Einschätzungen mit Vertrauen.
• Rollierend testen: die Optimierung nur mit Daten bis zum jeweiligen Zeitpunkt rechnen und die Folgejahre messen (Walk-forward).

Ledoit und Wolf (2004) begründen das mit dem Schätzfehler der gewöhnlichen Kovarianzmatrix, der gerade die Gewichte eines Optimierers stört. Ihr Vorschlag: die Matrix zu einem einfachen Ziel hin schrumpfen, etwa zu gleichen Varianzen ohne Korrelation, mit einer Intensität, die sich aus den Daten schätzen lässt.

Für Fortgeschrittene: die Mathematik der Effizienzlinie

Ohne Gewichtsgrenzen lässt sich die Effizienzlinie geschlossen herleiten. Merton (1972) zeigte, dass sie im Diagramm aus Volatilität und Rendite eine Hyperbel ist. Mit den Größen A = 1ᵀΣ⁻¹μ, B = μᵀΣ⁻¹μ, C = 1ᵀΣ⁻¹1 und D = BC − A² gilt für die kleinste Varianz bei Zielrendite μ_P:

Die Formel für das Tangentialportfolio erklärt die Instabilität: Die Inverse Σ⁻¹ verstärkt kleine Unterschiede zwischen ähnlichen Anlagen. Sind zwei Fonds hoch korreliert, ist die Matrix fast singulär, und winzige Renditeunterschiede erzeugen große Gegenpositionen, wie im Beispiel oben. Mit Gewichtsgrenzen gibt es keine geschlossene Lösung mehr; dann rechnet ein numerischer Optimierer Punkt für Punkt.

Ein zweiter Punkt betrifft die Zielgröße: Die Optimierung maximiert die erwartete arithmetische Rendite einer Periode. Wer über viele Jahre anlegt, interessiert sich für die geometrische Rendite, die bei hoher Volatilität deutlich darunter liegt. Portfolios am rechten Rand der Effizienzlinie sehen deshalb attraktiver aus, als sie langfristig sind.

Grenzen der Theorie

• Varianz als Risiko: Mittelwert und Varianz beschreiben eine Verteilung nur vollständig, wenn sie normal ist. Fat Tails und Schiefe bleiben unberücksichtigt.
• Eine Periode: Das Modell plant einen Zeitraum. Sparraten, Entnahmen und Umschichtungen über viele Jahre brauchen Erweiterungen oder eine Monte-Carlo-Simulation.
• Stabile Parameter: Korrelationen steigen in Krisen, Renditen wechseln mit dem Marktumfeld. Was gestern effizient war, ist es morgen vielleicht nicht.
• Historische Renditen als Prognose: Sie sind die unsicherste Zutat. Bessere Quellen sind Bewertungen wie das Shiller-KGV oder Gleichgewichtsrenditen.

So rechnet Portfolio Lab

Die Optimierung schätzt erwartete Renditen als Mittelwert der Monatsrenditen mal 12 und die Kovarianzmatrix wahlweise als Stichprobe oder mit Ledoit-Wolf-Shrinkage auf eine skalierte Einheitsmatrix. Gewichte liegen standardmäßig zwischen 0 und 100 %, je Ticker lassen sich Mindest- und Höchstgewichte setzen. Acht Zielfunktionen stehen zur Wahl: Maximum Sharpe, Minimum-Varianz, Risk Parity, Maximum Diversification, Minimum-CVaR (95 %, als lineares Programm über die historischen Monate), Maximum Sortino, Minimum-Varianz bei Zielrendite und Maximum-Rendite bei Zielvolatilität. Die Effizienzlinie besteht aus 40 Punkten zwischen dem Minimum-Varianz-Portfolio und der höchsten erreichbaren Rendite. Der rollierende Test optimiert alle 1, 3, 6 oder 12 Monate neu, jeweils mit den letzten 24 bis 180 Monaten (Standard: 60 Monate, jährlich). Details in der Methodik der Optimierung.

Dieser Artikel erklärt eine Methode; er ist keine Anlage- oder Steuerberatung. Zahlenbeispiele sind vereinfacht und gerundet. Alle Begriffe im Glossar.