Dimensionen-Methodik: wie Portfolio Lab unabhängige Risiken zählt

Fortgeschritten8 Min. Lesezeit · aktualisiert am 28. Oktober 2026 · 7 Quellen

Der Reiter Dimensionen auf der Seite Risiko beantwortet die Frage, wie viele voneinander unabhängige Risiken in einem Portfolio stecken und wie sich das über die Zeit ändert. Er zerlegt die Korrelationsmatrix der Positionen in ihre Eigenwerte, vergleicht sie mit der Grenze für reinen Zufall, zählt die effektiven Wetten bei den Gewichten des Portfolios und verfolgt die Maße rollierend ohne Vorgriff. Diese Seite beschreibt, was der Code in core/dimensions.py tatsächlich rechnet.

Daten und Schätzung

Grundlage sind dieselben Daten wie auf der ganzen Seite Risiko: Monatsrenditen abgeschlossener Monate in der Basiswährung der Einstellungen, für alle Positionen im gemeinsamen Zeitraum, bei den Zielgewichten des gewählten Portfolios (nur positive Gewichte, auf 100 % skaliert). Der Zeitraum ist die ganze gemeinsame Historie oder die letzten 36, 60 bzw. 120 Monate; nötig sind mindestens 24 gemeinsame Monate und mindestens zwei Positionen. Eine Position, die im Zeitraum gar nicht schwankt, bricht die Rechnung mit einem Hinweis ab, weil es ohne Schwankung keine Korrelation gibt.

Die Kovarianzmatrix Σ schätzt der Code wie in der Risikozerlegung als Stichprobe, als EWMA mit Abklingfaktor λ (Voreinstellung 0,97 je Monat, Halbwertszeit 22,8 Monate) oder mit Ledoit-Wolf-Shrinkage auf ein skaliertes Einheitsziel (Ledoit und Wolf 2004). Aus Σ entsteht die Korrelationsmatrix C = D^−½ Σ D^−½ mit den Varianzen auf der Diagonale von D. Eine Benchmark spielt für die Dimensionen keine Rolle.

Spektrum und Rauschgrenze

Die Eigenwerte λ₁ ≥ … ≥ λ_N der Korrelationsmatrix summieren sich zur Zahl der Positionen N; λₖ/N ist der Anteil der Gesamtvarianz, den die k-te Dimension trägt. Jede Dimension ist ein Eigenvektor, also eine Richtung, in der sich die Positionen gemeinsam bewegen. Die Tabelle der Ladungen zeigt die ersten bis zu sechs Dimensionen; weil das Vorzeichen eines Eigenvektors frei ist, dreht der Code jeden so, dass die Summe seiner Ladungen positiv ist, und nennt je Dimension die drei betragsgrößten Ladungen.

Als Maßstab dient das Band, in dem die Eigenwerte reiner Zufallskorrelationen liegen (Marchenko und Pastur (1967); für Aktien Laloux u. a. (1999)). Eigenwerte über der oberen Grenze zählen als Dimensionen mit Signal (Marchenko-Pastur-Verteilung).

Die Grenze gilt streng für die Stichprobenkorrelation vieler unabhängiger, gleich verteilter Reihen; bei wenigen Positionen ist sie eine Faustregel. Für EWMA setzt der Code die effektive Zahl der Monate ein. Das ist eine Näherung. Ledoit-Wolf zieht die Eigenwerte zur Mitte hin, die Zählung fällt dann eher vorsichtig aus. Bei weniger als doppelt so vielen Monaten wie Positionen erscheint ein Hinweis; bei höchstens so vielen Monaten wie Positionen ist die Korrelationsmatrix (außer mit Ledoit-Wolf) nicht invertierbar, und mindestens N − T + 1 Eigenwerte sind null.

Effektive Zahl der Wetten

Nach Meucci (2009) zerlegt der Code die Kovarianzmatrix in ihre Hauptkomponenten Σ = E Λ Eᵀ und schreibt das Portfolio als Mischung der Hauptkomponenten-Portfolios, w̃ = Eᵀw. Jede trägt den Anteil pₖ = λₖ w̃ₖ² / wᵀΣw zur Varianz bei; die Anteile sind nie negativ und summieren sich zu 1. Die effektive Zahl der Wetten ist exp(−Σ pₖ ln pₖ): 1, wenn eine Komponente alles trägt, N bei N gleich großen Anteilen. Liegen zwei Eigenwerte der Kovarianz weniger als 1 % auseinander, ist die Richtung der Komponenten kaum bestimmt; dann erscheint ein Hinweis.

Die Minimum-Torsion-Wetten nach Meucci u. a. (2013) suchen unkorrelierte Faktoren F = tR, die den Positionen so ähnlich wie möglich bleiben: t minimiert Σₙ Var((Fₙ − Rₙ)/σₙ) unter der Bedingung, dass die Faktoren unkorreliert sind. Über die Korrelation geschrieben ist t = σ · diag(d) · O · C^−½ · σ⁻¹ mit einer orthogonalen Matrix O. Der Code wechselt wie Meuccis Verfahren „exact“ ab zwischen O = (dCd)^−½ · d · C^½ (der orthogonale Anteil der Polarzerlegung) und d = diag(O · C^½), beginnend mit d = 1, bis sich d um höchstens das 10⁻¹²-Fache ändert (höchstens 10.000 Schritte). Die Anteile pₙ = b̃ₙ² Var(Fₙ) / wᵀΣw mit b̃ = t⁻ᵀw gehören je zu einer Position, sind nie negativ und summieren sich zu 1; daraus wieder exp(−Σ pₙ ln pₙ). Ist der kleinste Eigenwert der Korrelation nicht größer als 10⁻¹⁰, bleibt Minimum-Torsion leer.

Eine Eigenheit gehört dazu: Bewegen sich zwei Positionen fast gleich, behält trotzdem jede ihren eigenen Faktor. Minimum-Torsion verteilt das gemeinsame Risiko dann auf beide und zählt sie wie getrennte Wetten. Die Anteile liegen nahe den Euler-Beiträgen. Bei zwei Positionen mit Korrelation 0,999 und einer dritten, unabhängigen, alle gleich schwankend und gleich gewichtet, zählt Minimum-Torsion 2,87 Wetten, die Hauptkomponenten 1,65. Ab einer Korrelation von 0,95 zwischen zwei Positionen weist ein Hinweis darauf hin.

Daneben stehen zwei Maße ohne Zerlegung: die effektive Zahl der Gewichte 1 / Σwᵢ² (Herfindahl-Index) und die Diversifikationsquote Σwᵢσᵢ / σ_p nach Choueifaty und Coignard (2008), dieselbe wie im Reiter Positionen.

Absorption Ratio und Verlauf

Die Absorption Ratio nach Kritzman u. a. (2011) ist der Anteil der k größten Eigenwerte an der Summe aller, mit k = ⌈N/5⌉ und mindestens 1. Kritzman u. a. rechnen mit der Kovarianz; Portfolio Lab nimmt die Korrelation, damit schwankungsstarke Positionen das Maß nicht allein bestimmen. Spektrum und Absorption Ratio zählen damit jede Position gleich, die Wetten gewichten mit dem Portfolio.

Rollierend rechnet der Code die effektive Zahl der Wetten (beide Arten), die Dimensionen mit Signal und die Absorption Ratio in Fenstern von 24 bis 120 Monaten (Schritte von 6, Voreinstellung 36) über die ganze gemeinsame Historie, mit derselben Kovarianzschätzung, den heutigen Zielgewichten und für jedes Fenster nur den Monaten bis zu seinem Ende. Der Verlauf erscheint, wenn mindestens Fenster plus 12 Monate vorliegen. Hat das Fenster höchstens so viele Monate wie Positionen, bleibt Minimum-Torsion im Verlauf leer.

Grenzen

• Rückblick: Alle Maße sind Schätzungen aus vergangenen Monatsrenditen. Korrelationen ändern sich, in Krisen steigen sie oft gleichzeitig.
• Monatsdaten: Tagesrenditen gäben mehr Beobachtungen, wären aber bei Börsen in verschiedenen Zeitzonen versetzt; Anlageklassen gibt es nur monatlich.
• Normalverteilte Sicht: Spektrum und Wetten beruhen auf Varianzen und Kovarianzen; Abhängigkeiten in den Rändern bilden sie nicht ab.
• Zwillinge: Fast gleich laufende Positionen zählt Minimum-Torsion wie getrennte Wetten; als Zahl unabhängiger Risiken ist dann die Zählung nach Hauptkomponenten näher.
• Kein Renditemaß: Mehr Dimensionen heißen nicht mehr Rendite.

Diese Seite beschreibt, wie Portfolio Lab rechnet; Ergebnisse aus der Vergangenheit sind keine Prognose. Alle Begriffe im Glossar.