Faktorregression, Faktor-Allokation und Faktorstatistik: Methodik
Diese Seite beschreibt die Faktorregression und die übrigen Werkzeuge der Seite Faktoren so, wie der Code sie rechnet: welche Faktordaten einfließen, wie Loadings (Faktorladungen), t-Werte und Alpha entstehen, wie die Faktor-Allokation neue Gewichte sucht und welche Kennzahlen die Faktorstatistik zeigt. Die Grundlagen erklärt der Artikel Fama-French-Faktoren.
Faktordaten und Modelle
Grundlage sind monatliche Faktorrenditen nach der Methodik von Fama und French (1993) und Fama und French (2015): Marktüberrendite (Markt minus risikofreier Zins), Größe (SMB), Bewertung (HML) und im Fünf-Faktoren-Modell zusätzlich Profitabilität (RMW) und Investitionsverhalten (CMA). Optional kommt Momentum (MOM) nach Carhart (1997) hinzu. Zur Wahl stehen 15 Modelle für acht Regionen: USA, Nordamerika, Europa, Japan, Asien-Pazifik ohne Japan, Entwickelte Märkte, Entwickelte Märkte ohne USA (je mit drei oder fünf Faktoren) und Schwellenländer (nur fünf Faktoren).
Optional rechnet Portfolio Lab zwei Anleihefaktoren dazu: Laufzeit (Term) als Rendite langer US-Staatsanleihen minus Geldmarkt und Kredit (Credit) als Rendite langer US-Unternehmensanleihen minus langer Staatsanleihen, beide aus den Gesamtrenditen von US-Rentenfonds. Sie brauchen mindestens 24 gemeinsame Monate; fehlen sie, rechnet das Werkzeug ohne sie weiter und sagt das.
Die Faktordaten liegen in US-Dollar vor. Deshalb rechnet das ganze Werkzeug in USD: Fonds und Portfolios werden in Dollar umgerechnet, bevor sie auf die Faktoren regressiert werden. Ein Euro-Anleger sieht so das Faktorprofil ohne Währungseffekt; die Euro-Rendite selbst steht im Backtest.
Die Regression
Für jedes gewählte Wertpapier oder Portfolio werden die Monatsrenditen (Monatsende, Portfolios monatlich auf ihre Gewichte zurückgesetzt) mit den Faktoren auf die gemeinsamen Monate gelegt. Dann folgt eine Kleinste-Quadrate-Regression der Überrendite auf die Faktoren:
r_t − RF_t = α + β_M · (Markt − RF)_t + β_SMB · SMB_t + β_HML · HML_t + … + ε_t- r_t
- Monatsrendite des Fonds in USD
- RF_t
- risikofreier Zins des Monats aus den Faktordaten
- β
- Loadings, also die Empfindlichkeit gegenüber jedem Faktor
- α
- monatliches Alpha, angezeigt als (1 + α)^12 − 1
- t-Werte und p-Werte aus der klassischen Kovarianzmatrix σ² (X′X)⁻¹ mit n − k Freiheitsgraden (n Monate, k Koeffizienten inklusive Achsenabschnitt), p-Werte zweiseitig aus der t-Verteilung. Umschaltbar auf Newey-West: Kovarianz nach Newey und West (1987) mit Bartlett-Gewichten, ⌊4 · (n/100)^(2/9)⌋ Lags (bei 120 Monaten 4) und dem Faktor n / (n − k).
- R² und korrigiertes R²: Anteil der Varianz der Überrendite, den die Faktoren erklären.
- Restvolatilität: Standardabweichung der Residuen × √12, also das Risiko, das kein Faktor erklärt.
- Mindestlänge: mehr als k + 5 gemeinsame Monate, sonst bricht die Regression mit Hinweis ab.
Die klassischen t-Werte nehmen unabhängige, gleich verteilte Residuen an. Sind die Residuen autokorreliert oder schwankt ihre Varianz, sind die Standardfehler nach Newey-West größer und die t-Werte kleiner. Liegen beide Varianten weit auseinander, ist der klassische t-Wert zu optimistisch. Ein einzelner t-Wert um 2 ist bei vielen getesteten Fonds und Faktoren ohnehin schwach. Harvey u. a. (2016) empfehlen für neue Faktoren eine Hürde von 3.
Rollierende Regression
Zusätzlich schätzt das Werkzeug die Loadings über ein gleitendes Fenster von 24 bis 120 Monaten in Schritten von sechs (Standard 36). Jeder Punkt ist eine eigene Regression über die letzten Fenstermonate, das Alpha wieder auf ein Jahr hochgerechnet. So wird sichtbar, ob sich ein Fonds über die Zeit vom Value- zum Wachstumsstil oder von kleinen zu großen Unternehmen bewegt hat.
Renditezerlegung
Weil die Regression einen Achsenabschnitt hat, ist der Mittelwert der Residuen genau null. Damit lässt sich die durchschnittliche Rendite exakt in Beiträge zerlegen, arithmetisch und auf ein Jahr hochgerechnet (× 12):
Ø Rendite p. a. = Ø RF p. a. + Σ β_f · Ø Faktorrendite_f p. a. + α · 12Monat für Monat zeigt das Werkzeug dieselbe Zerlegung als Fläche: risikofreier Zins, β · Faktor je Faktor und „Alpha + Rest“ als Differenz zur tatsächlichen Monatsrendite. Die Zeilensumme ist immer genau die Rendite des Monats.
Faktor-Allokation
Die Faktor-Allokation folgt zwei Schritten. Zuerst regressiert sie jedes Wertpapier im Raster und jede zusätzlich gewählte Anlage auf das Faktormodell, über den gemeinsamen Zeitraum oder die letzten 36, 60 oder 120 Monate. Weil die Regression linear ist, sind die Loadings eines monatlich zurückgesetzten Portfolios genau die gewichtete Summe der Einzel-Loadings. Ebenso zerfällt die Varianz der Portfolio-Überrendite in Faktor- und Restrisiko, weil die Residuen mit den Faktoren unkorreliert sind:
Var(Portfolio) = b′ Σ_F b + w′ Ω w, Anteil Faktor f = b_f · (Σ_F b)_f / Var- b
- Loadings des Portfolios (B · w)
- Σ_F
- Kovarianzmatrix der Faktoren
- Ω
- Kovarianzmatrix der Residuen
Im zweiten Schritt sucht ein Optimierer (SLSQP) neue Gewichte: keine Leerverkäufe, Summe 100 %, ein Höchstgewicht je Anlage zwischen 10 und 100 % in Fünferschritten. Stufe 1 minimiert die quadrierte Abweichung der Loadings von den Zielwerten (Faktoren ohne Ziel bleiben frei). Stufe 2 wählt unter allen Lösungen, die je Zielfaktor höchstens 0,01 schlechter sind, die mit dem gewählten Nebenziel: möglichst wenig umschichten (‖w − w₀‖²), möglichst wenig Restrisiko oder möglichst wenig Gesamtrisiko. Bleibt ein Ziel um mehr als 0,05 verfehlt, nennt das Werkzeug den Faktor, der am weitesten weg liegt. Die Umschichtung ist ½ Σ |w_neu − w_alt|.
Faktoren nachbilden
„Faktoren nachbilden“ baut aus Bausteinen (Vorlagen mit Stil- und Faktor-Anlageklassen oder eigene Wertpapiere) ein Portfolio, das einem Fonds möglichst ähnlich ist. Im Modus „Faktor-Exposures treffen“ gilt zuerst die Stufe 1 oben mit den Loadings des Ziels als Zielwerten, danach wird der Tracking Error minimiert. Im Modus „Nur Tracking Error“ entfällt Stufe 1. Das entspricht einer Stilanalyse mit den Bausteinen (Methodik Stilanalyse). Geschätzt wird über die letzten 60 Monate (wählbar); liegen davor mindestens zwölf Monate, zeigt das Werkzeug zusätzlich einen Test außerhalb der Stichprobe mit Rendite, Volatilität, Drawdown, Tracking Error und Korrelation.
Faktorstatistik
Die Faktorstatistik behandelt jeden Faktor wie eine Anlage. SMB, HML, RMW, CMA und Momentum sind Long-Short-Portfolios; ihre Rendite ist die Prämie selbst, beim Markt ist es die Überrendite. Wertentwicklung und Drawdowns verketten (1 + Prämie), als würde die Prämie monatlich reinvestiert. Die Kennzahlen:
- Ø Prämie p. a. (Monatsmittel × 12) und geometrische Prämie p. a., Volatilität (× √12), Sharpe Ratio (Mittel / Standardabweichung × √12).
- t-Wert der Prämie = Monatsmittel / (Standardabweichung / √n). Er prüft, ob die Prämie von null verschieden ist.
- Anteil positiver Monate, bester und schlechtester Monat und Kalenderjahr, maximaler Drawdown, längste Phase unter dem Höchststand in Monaten, Schiefe und Exzess-Kurtosis.
- Anteil der rollierenden 5- und 10-Jahres-Zeiträume (oder des gewählten Zeitraums von 3, 5, 10 oder 20 Jahren) mit positiver Prämie; Prämien je Jahrzehnt ab 24 Monaten Daten.
Im Regionenvergleich zeigt die Statistik einen Faktor über bis zu acht Regionen; Profitabilität und Investitionsverhalten kommen dabei aus den Fünf-Faktoren-Modellen, Schwellenländer gibt es nur dort. Optional lassen sich alle Regionen auf den gemeinsamen Zeitraum kürzen. Zeiträume: gesamte Historie oder die letzten 10, 20, 30 oder 50 Jahre, mindestens 24 Monate.
Grenzen
- Faktoren sind Papierportfolios ohne Handelskosten, Steuern und Leerverkaufsgebühren. Eine Prämie im Datensatz ist nicht eins zu eins investierbar.
- Die Regression erklärt die Vergangenheit. Loadings schwanken, besonders bei kurzen Fenstern; das Alpha eines Fonds ist meist statistisch unsicher.
- Alle Rechnungen laufen in USD und mit Monatsdaten; der laufende Monat fehlt in den Faktordaten.
Häufige Fragen
Warum rechnet die Faktorregression in Dollar?
Weil die Faktorrenditen in US-Dollar vorliegen. Würde man Euro-Renditen auf Dollar-Faktoren regressieren, landete der Wechselkurs im Alpha und in den Residuen.
Was bedeutet ein Markt-Beta von 0,9?
Steigt die Marktüberrendite in einem Monat um 1 Prozentpunkt, stieg die Überrendite des Fonds im Mittel um 0,9 Prozentpunkte, bei gleichbleibenden übrigen Faktoren.
Ab wann ist ein Alpha glaubwürdig?
Wenn sein t-Wert deutlich über 2 liegt, der Zeitraum lang ist und das Alpha auch in der rollierenden Regression stabil bleibt. Bei vielen verglichenen Fonds spricht viel für eine strengere Grenze von 3.
Was ist der Unterschied zur Stilanalyse?
Die Faktorregression nutzt Long-Short-Faktoren und erlaubt beliebige Loadings. Die Stilanalyse erklärt einen Fonds mit investierbaren Indizes und Gewichten, die nicht negativ sind und sich zu 100 % summieren.
Literatur
- Carhart, Mark M. (1997): On Persistence in Mutual Fund Performance. The Journal of Finance 52 (1), S. 57–82. doi:10.1111/j.1540-6261.1997.tb03808.x
- Fama, Eugene F.; French, Kenneth R. (1993): Common risk factors in the returns on stocks and bonds. Journal of Financial Economics 33 (1), S. 3–56. doi:10.1016/0304-405x(93)90023-5
- Fama, Eugene F.; French, Kenneth R. (2015): A five-factor asset pricing model. Journal of Financial Economics 116 (1), S. 1–22. doi:10.1016/j.jfineco.2014.10.010
- Harvey, Campbell R.; Liu, Yan; Zhu, Heqing (2016): … and the Cross-Section of Expected Returns. Review of Financial Studies 29 (1), S. 5–68. doi:10.1093/rfs/hhv059
- Newey, Whitney K.; West, Kenneth D. (1987): A Simple, Positive Semi-Definite, Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix. Econometrica 55 (3). doi:10.2307/1913610
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