CAPM: Das Capital Asset Pricing Model und die Wertpapiermarktlinie
Das CAPM (Capital Asset Pricing Model) ist das Grundmodell der Kapitalmarkttheorie: Die erwartete Rendite einer Anlage hängt nur von ihrem Marktrisiko ab, gemessen als Beta. Wer mehr Marktrisiko trägt, wird mit mehr Rendite belohnt; Risiko, das sich wegdiversifizieren lässt, bringt dagegen nichts. Das Modell ist elegant und wird überall verwendet, erklärt die Renditen in den Daten aber erstaunlich schlecht.
Die CAPM-Formel
E[Rᵢ] = r_f + βᵢ × (E[R_M] − r_f)- E[Rᵢ]
- erwartete Rendite der Anlage i
- r_f
- risikofreier Zins
- βᵢ
- Beta: Kovarianz der Anlage mit dem Markt / Varianz des Marktes
- E[R_M] − r_f
- Marktrisikoprämie, siehe Aktienrisikoprämie
Die Formel sagt: Jede Anlage liegt auf einer Geraden, der Wertpapiermarktlinie (Security Market Line). Ein Beta von 1 bedeutet Marktrendite, ein Beta von 0 den risikofreien Zins, ein Beta von 1,5 die anderthalbfache Marktrisikoprämie oben auf den Zins. Was eine Anlage darüber hinaus schwankt (unsystematisches Risiko), spielt für die erwartete Rendite keine Rolle, weil es sich in einem breiten Portfolio ausgleicht.
Liegt die tatsächliche Rendite eines Fonds über dem, was sein Beta erwarten lässt, spricht man von Alpha (Jensen (1968) hat es als Maß für Fondsleistung eingeführt). Brachte die Aktie mit Beta 1,2 im Beispiel 9 % statt 8 %, wäre ihr Alpha 1 Prozentpunkt.
E[R] = 2 % + Beta × 5 %, Punkte aus dem Beispiel oben: Portfolio mit Beta 0,70 (5,5 %), Aktien mit Beta 0,8 (6,0 %) und 1,2 (8,0 %). Bringt die Aktie mit Beta 1,2 tatsächlich 9 %, liegt sie 1 Prozentpunkt über der Linie. Das ist ihr Alpha.
Kapitalmarktlinie und Wertpapiermarktlinie
Das CAPM baut auf der Portfoliotheorie von Markowitz (1952) auf. Tobin (1958) zeigte, dass mit einer risikofreien Anlage alle Anleger dasselbe riskante Portfolio halten und nur den Anteil des sicheren Zinses verändern (Separationstheorem). Im Gleichgewicht muss dieses gemeinsame Portfolio der Markt selbst sein. Daraus ergeben sich zwei Geraden:
- Kapitalmarktlinie (Capital Market Line): Rendite gegen Volatilität für effiziente Portfolios aus Markt und sicherer Anlage. Ihre Steigung ist die Sharpe Ratio des Marktes.
- Wertpapiermarktlinie (Security Market Line): Rendite gegen Beta für jede einzelne Anlage. Auf ihr liegen auch ineffiziente Einzelaktien, denn ihr Restrisiko wird eben nicht belohnt.
E[R_P] = r_f + (E[R_M] − r_f) / σ_M × σ_P- σ_P
- Volatilität eines Portfolios aus Markt und sicherer Anlage
- (E[R_M] − r_f) / σ_M
- Steigung der Kapitalmarktlinie = Sharpe Ratio des Marktes
Eine einzelne Aktie mit derselben Volatilität von 10,5 %, aber einem Beta von nur 0,3 läge dagegen weit unter der Kapitalmarktlinie: Ihre erwartete Rendite nach dem CAPM wäre 2 + 0,3 × 5 = 3,5 %. Der Großteil ihres Risikos ist unsystematisch und wird nicht entlohnt. Genau deshalb ist ein breit gestreutes Portfolio der Ausgangspunkt jeder vernünftigen Anlage.
Zahlen aus den Beispielen oben: Markt 7 % bei 15 % Volatilität und Beta 1, Mischung 70/30 (70 % Markt, 30 % Geldmarkt) 5,5 % bei 10,5 % Volatilität und Beta 0,7, Aktie 3,5 % bei 10,5 % Volatilität und Beta 0,3. Gemessen an der Volatilität ist die Aktie ineffizient, gemessen am Beta fair bewertet: Ihr Restrisiko wird nicht belohnt.
Hergeleitet haben das Modell fast gleichzeitig Sharpe (1964), Lintner (1965) und Mossin (1966). Sharpe erhielt dafür 1990 den Wirtschaftsnobelpreis.
Die Annahmen
- Anleger beurteilen Portfolios nur nach erwarteter Rendite und Varianz über eine Periode.
- Alle haben dieselben Erwartungen über Renditen, Volatilitäten und Korrelationen.
- Jeder kann unbegrenzt zum risikofreien Zins anlegen und Kredit aufnehmen.
- Keine Steuern, keine Transaktionskosten, beliebig teilbare Anlagen, keine Leerverkaufsbeschränkungen.
- Das Marktportfolio enthält alle riskanten Anlagen der Welt.
Keine dieser Annahmen gilt exakt. Black (1972) zeigte, was passiert, wenn man nicht zum sicheren Zins Kredit aufnehmen kann: Das Modell bleibt im Kern erhalten, aber an die Stelle des risikofreien Zinses tritt die Rendite eines Portfolios ohne Beta (Zero-Beta-CAPM). Die Wertpapiermarktlinie wird dadurch flacher: Anlagen mit niedrigem Beta bringen mehr, Anlagen mit hohem Beta weniger, als das einfache CAPM vorhersagt.
Was die Forschung zeigt
Die empirische Bilanz ist ernüchternd. Fama und French (1992) fanden für US-Aktien, dass Unternehmensgröße und das Verhältnis von Buch- zu Marktwert die Unterschiede der Durchschnittsrenditen gut erfassen, während die Beziehung zwischen Beta und Rendite flach ist, sobald man Beta von der Größe trennt. In ihrem Übersichtsartikel ziehen Fama und French (2004) das Fazit, dass das CAPM wegen seiner Einfachheit populär bleibt, in den Daten aber schlecht abschneidet; erweiterte Faktormodelle erklären die Renditen besser.
Frazzini und Pedersen (2014) zeigten die flache Linie in vielen Märkten: Hohes Beta geht mit niedrigem Alpha einher, und zwar bei US-Aktien, in 20 internationalen Aktienmärkten, bei Staats- und Unternehmensanleihen und Futures. Ihre Erklärung: Viele Anleger dürfen oder wollen sich nicht verschulden und kaufen deshalb Anlagen mit hohem Beta, um mehr Rendite zu erreichen; das treibt deren Preise und senkt ihre spätere Rendite. Eine Strategie, die Anlagen mit niedrigem Beta gehebelt kauft und solche mit hohem Beta leer verkauft (Betting against Beta), brachte deutlich positive risikobereinigte Renditen. Mehr dazu im Artikel Low-Volatility-Anomalie.
Die Konsequenz war kein Abschied vom CAPM, sondern seine Erweiterung: Neben den Markt traten weitere Faktoren wie Größe und Bewertung, später Profitabilität, Investitionsverhalten und Momentum. Das Fama-French-Modell ist heute der Standard, um Fondsrenditen zu erklären; das CAPM bleibt dessen Spezialfall mit nur einem Faktor.
Grundsätzlicher ist die Kritik von Roll (1977): Das echte Marktportfolio enthält alle riskanten Vermögenswerte (Aktien, Anleihen, Immobilien, Humankapital) und ist nicht beobachtbar. Jeder Test mit einem Aktienindex prüft daher nur, ob dieser Index effizient ist, nicht das CAPM selbst.
Praktisch zeigt sich das Problem bei der Wahl des Vergleichsindex: Ein deutsches Unternehmen hat gegen den DAX ein anderes Beta als gegen einen Weltaktienindex. Für einen Anleger in Euro mit weltweit gestreutem Depot ist ein globaler Index der passendere Maßstab; ein Beta gegen einen Länderindex sagt dann wenig über das Risiko im eigenen Portfolio.
Für Fortgeschrittene: Beta schätzen und testen
Beta schätzt man mit einer Regression der Überrenditen der Anlage auf die Überrenditen des Marktes. Der Achsenabschnitt ist das Jensen-Alpha, das Bestimmtheitsmaß R² zeigt, welcher Anteil der Schwankung vom Markt kommt.
Rᵢ,ₜ − r_f,ₜ = αᵢ + βᵢ × (R_M,ₜ − r_f,ₜ) + εᵢ,ₜ- αᵢ
- Jensen-Alpha: im CAPM gleich null
- εᵢ,ₜ
- unsystematischer Rest, im Mittel null
- Schätzfehler: Betas einzelner Aktien sind unsicher und schwanken über die Zeit. Viele Anbieter schrumpfen sie deshalb zur 1 hin; Portfolios aus vielen Aktien haben stabilere Betas.
- Zeitraum und Frequenz: Mit Tagesdaten wird das Beta wenig gehandelter Titel unterschätzt, weil ihre Kurse dem Markt hinterherlaufen. Üblich sind 60 Monatsrenditen.
- Querschnittstest: Fama und MacBeth (1973) schätzen jeden Monat eine Regression der Renditen aller Aktien auf ihre Betas und mitteln die Steigungen. Unter dem CAPM müsste die mittlere Steigung der Marktrisikoprämie entsprechen und der Achsenabschnitt dem sicheren Zins.
- Mehrere Faktoren: Die Arbitrage Pricing Theory von Ross (1976) erlaubt mehrere Risikofaktoren statt eines Marktes. Sie ist die Grundlage heutiger Faktormodelle.
Wozu das CAPM trotzdem dient
Theoretisch ist das CAPM ein Spezialfall der allgemeinen Bewertungstheorie: Der Preis jeder Anlage ergibt sich aus ihrer Kovarianz mit einem stochastischen Diskontfaktor, der im CAPM linear von der Marktrendite abhängt. Diesen Rahmen, in dem auch Mehrfaktormodelle stehen, entwickelt das Lehrbuch Cochrane (2005).
- Kapitalkosten: Unternehmen und Bewerter schätzen die Eigenkapitalkosten oft mit dem CAPM, weil es einfach und nachvollziehbar ist. Ein Unternehmen mit Beta 1,3 hätte bei 2 % Zins und 5 % Marktrisikoprämie Eigenkapitalkosten von 2 + 1,3 × 5 = 8,5 %; Investitionen müssen mindestens das verdienen.
- Fondsbewertung: Alpha und Beta gegen einen Index sind die erste Frage an jeden aktiven Fonds: Kommt die Rendite aus Marktrisiko oder aus Können?
- Diversifikation: Die zentrale Botschaft gilt unabhängig von den Tests. Unsystematisches Risiko wird nicht belohnt, also sollte man es nicht tragen.
- Bezugspunkt: Abweichungen vom CAPM (Größe, Value, Momentum, niedriges Beta) sind erst durch den Vergleich mit dem Modell sichtbar geworden.
- Hebel statt Einzelrisiko: Wer mit dem Marktportfolio mehr Rendite will, erhöht nach dem CAPM den Marktanteil oder hebelt ihn, statt in riskante Einzelwerte mit hohem Beta auszuweichen. Dass viele Anleger das nicht können oder wollen, ist der Kern der Erklärung für die flache Wertpapiermarktlinie.
So rechnet Portfolio Lab
Im Backtest mit Benchmark berechnet Portfolio Lab Beta aus der Kovarianz der Periodenrenditen von Portfolio und Benchmark, geteilt durch die Varianz der Benchmark. Das Alpha p. a. ist der mittlere Überschuss der Überrenditen über das Beta-fache der Benchmark-Überrendite, mal 12 (bzw. 52 oder 252), also das Jensen-Alpha mit dem zeitabhängigen Geldmarktzins. Dazu kommen R², Treynor Ratio und M². In der Faktorenanalyse ist der Markt der erste von drei oder fünf Faktoren. Details stehen in der Methodik der Kennzahlen.
Häufige Fragen
Was sagt das CAPM aus?
Die erwartete Rendite einer Anlage ist der risikofreie Zins plus Beta mal Marktrisikoprämie. Nur Marktrisiko wird belohnt, wegdiversifizierbares Risiko nicht.
Was ist der Unterschied zwischen Kapitalmarktlinie und Wertpapiermarktlinie?
Die Kapitalmarktlinie zeigt Rendite gegen Volatilität für effiziente Portfolios, die Wertpapiermarktlinie Rendite gegen Beta für jede einzelne Anlage.
Stimmt das CAPM?
In den Daten nur schlecht: Die Beziehung zwischen Beta und Rendite ist flacher als vorhergesagt, und Größe, Bewertung oder Momentum erklären Renditen, die das CAPM nicht erklärt.
Wie berechnet man Beta?
Als Kovarianz der Renditen der Anlage mit dem Markt geteilt durch die Varianz des Marktes, üblich aus 60 Monatsrenditen; gleichwertig mit der Steigung einer Regression.
Warum ist das CAPM trotz schlechter Tests so verbreitet?
Weil es einfach ist, eine klare Aussage über Risiko und Rendite macht und für Kapitalkosten und Fondsbewertung eine nachvollziehbare Standardrechnung liefert. Für genauere Analysen nutzt man Mehrfaktormodelle.
Was ist das Jensen-Alpha?
Die Rendite über dem, was das CAPM mit dem Beta erwarten lässt, also der Achsenabschnitt der Regression der Überrenditen auf die Marktüberrenditen.
Gilt das CAPM auch für Anleihen?
Im Prinzip ja, weil es jede Anlage über ihr Beta zum Marktportfolio einordnet. Staatsanleihen haben gegenüber Aktien meist ein Beta nahe null; Studien zeigen auch hier eine flachere Linie, als das Modell vorhersagt.
Literatur
- Black, Fischer (1972): Capital Market Equilibrium with Restricted Borrowing. The Journal of Business 45 (3). doi:10.1086/295472
- Cochrane, John H. (2005): Asset Pricing. Princeton University Press, überarbeitete Auflage.
- Fama, Eugene F; French, Kenneth R (2004): The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence. Journal of Economic Perspectives 18 (3), S. 25–46. doi:10.1257/0895330042162430
- Fama, Eugene F.; MacBeth, James D. (1973): Risk, Return, and Equilibrium: Empirical Tests. Journal of Political Economy 81 (3), S. 607–636. doi:10.1086/260061
- Fama, Eugene F.; French, Kenneth R. (1992): The Cross-Section of Expected Stock Returns. The Journal of Finance 47 (2), S. 427–465. doi:10.1111/j.1540-6261.1992.tb04398.x
- Frazzini, Andrea; Pedersen, Lasse Heje (2014): Betting against beta. Journal of Financial Economics 111 (1), S. 1–25. doi:10.1016/j.jfineco.2013.10.005
- Jensen, Michael C. (1968): The Performance of Mutual Funds in the Period 1945–1964. The Journal of Finance 23 (2), S. 389–416. doi:10.1111/j.1540-6261.1968.tb00815.x
- Lintner, John (1965): The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets. The Review of Economics and Statistics 47 (1). doi:10.2307/1924119
- Markowitz, Harry (1952): Portfolio Selection. The Journal of Finance 7 (1), S. 77–91. doi:10.1111/j.1540-6261.1952.tb01525.x
- Mossin, Jan (1966): Equilibrium in a Capital Asset Market. Econometrica 34 (4). doi:10.2307/1910098
- Roll, Richard (1977): A critique of the asset pricing theory's tests Part I: On past and potential testability of the theory. Journal of Financial Economics 4 (2), S. 129–176. doi:10.1016/0304-405x(77)90009-5
- Ross, Stephen A (1976): The arbitrage theory of capital asset pricing. Journal of Economic Theory 13 (3), S. 341–360. doi:10.1016/0022-0531(76)90046-6
- Sharpe, William F. (1964): Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk. The Journal of Finance 19 (3), S. 425–442. doi:10.1111/j.1540-6261.1964.tb02865.x
- Tobin, J. (1958): Liquidity Preference as Behavior Towards Risk. The Review of Economic Studies 25 (2). doi:10.2307/2296205
Dieser Artikel erklärt eine Methode; er ist keine Anlage- oder Steuerberatung. Zahlenbeispiele sind vereinfacht und gerundet. Alle Begriffe im Glossar.