Long/Short und statistische Arbitrage: Methodik

Fortgeschritten13 Min. Lesezeit · aktualisiert am 24. Oktober 2026 · 13 Quellen

Der Long/Short-Backtest auf der Seite Long/Short prüft Strategien der statistischen Arbitrage an Tageskursen: Ein Wert wird gekauft, ein anderer leerverkauft, und verdient wird, wenn sich ihr Abstand wieder schließt. Diese Methodik beschreibt, was der Code rechnet: vier Verfahren, die Regeln für Ein- und Ausstieg, die Buchhaltung mit Hebel, Kosten, Leihgebühr und Zins sowie die Kennzahlen. Idee, Geschichte und Forschung stehen im Artikel Pairs-Trading.

Vier Verfahren, ein Rechenkern

Die vier Verfahren (Pairs Trading mit zwei Werten, ein Portfolio von Paaren, Faktor-Residuen und Rang Long/Short) unterscheiden sich darin, wie Long- und Short-Positionen entstehen. Gebucht wird danach für alle gleich: Tag für Tag zu Schlusskursen, mit 10.000 Startkapital.

Kurse: Jeder Wert wird mit seiner eigenen Historie geladen, als Tageskurse mit wiederangelegten Ausschüttungen. Die Short-Seite zahlt die Dividenden des geliehenen Titels damit automatisch mit. Der gemeinsame Kalender ist die Vereinigung aller Handelstage; Lücken bis zu fünf Tagen füllt der Code mit dem letzten Kurs, nie über den letzten Kurs eines Werts hinaus. Wochen- und Monatskurse sowie Anlageklassen mit Monatswerten lehnt die Seite ab; ein Universum hat höchstens 60 Werte. Haben einige Werte neuere Kurse, rechnet sie bis zum letzten Kurs des am wenigsten aktuellen Werts.

Währungen: Notieren alle Werte in derselben Währung, entstehen die Signale aus Kursen in dieser Handelswährung, das Ergebnis aber in der Basiswährung der Einstellungen, ohne Währungssicherung. Bei verschiedenen Währungen rechnet alles in der Basiswährung, Wechselkurse fließen dann in die Signale ein. Kein Vorgriff: Ein Signal am Tag t nutzt nur Schlusskurse bis t. Gehandelt wird voreingestellt zum Schlusskurs des nächsten Handelstags, wahlweise schon am Signaltag. Das setzt voraus, kurz vor Handelsschluss zu handeln.

Vorlagen: klassische Paare wie Coca-Cola/PepsiCo und vier Universen (11 US-Sektor-ETFs, 19 Länder-ETFs, 30 große US-Aktien und 30 DAX-Werte, jeweils heutige Mitglieder).

Pairs Trading: Hedge-Ratio, Spread und z-Wert

Für zwei Werte A und B schätzt der Code an jedem Tag t die Beziehung der logarithmierten Kurse über die W Handelstage vor t (Voreinstellung 120, erlaubt 30 bis 1.000). Der Kurs von t gehört nicht zur Schätzung; der z-Wert des Tages ist damit ein Test außerhalb der Stichprobe.

Alternativ führt ein Kalman-Filter nach Kalman (1960) die Hedge-Ratio nach, wie es Chan (2013) für Paare beschreibt: β und α folgen je einem Random Walk, gestartet mit einer OLS über die ersten W Tage. Die Anpassung steuert δ, das Verhältnis von Zustands- zu Messrauschen (Voreinstellung 0,0001, erlaubt 10⁻⁸ bis 0,1); das Gedächtnis liegt bei etwa 1/√δ, hier also 100 Tagen. Der z-Wert ist dann der Prognosefehler des Tages geteilt durch seine vorhergesagte Streuung, mit dem Zustand vom Vortag.

• Einstieg: z über +2 (Voreinstellung, erlaubt 0,1 bis 10) heißt, A ist gemessen an B teuer, also Short-Spread: A leerverkaufen, B kaufen. z unter −2 heißt Long-Spread: A kaufen, B leerverkaufen. Eingestiegen wird nur mit β > 0 und solange |z| unter dem Stop liegt.
• Ausstieg: Kehrt z bis auf ±0,5 zurück (Voreinstellung, erlaubt 0 bis unter dem Einstieg), wird geschlossen. In der Position gelten α, β und σ vom Einstiegstag; die Legs werden nicht umgeschichtet.
• Stop-Loss: Läuft z in Richtung des Trades bis ±4 weiter (Voreinstellung; 0 = aus, sonst über dem Einstieg und bis 20), wird geschlossen. Danach handelt der Code erst wieder, wenn |z| unter die Einstiegsschwelle gefallen ist.
• Höchstdauer: Nach 60 Handelstagen (Voreinstellung; 0 = aus, bis 5.000) wird geschlossen, mit derselben Sperre wie nach einem Stop. Am Tag eines Ausstiegs gibt es keinen neuen Einstieg.
• Gewichtung: Voreingestellt nach Hedge-Ratio (das Nominal von B ist das β-Fache des Nominals von A), wahlweise dollar-neutral mit gleichen Beträgen. Beide Legs zusammen ergeben den Brutto-Hebel.

Vergleich sind beide Werte je zur Hälfte, täglich auf gleiche Gewichte gesetzt. Nötig sind das Schätzfenster und 60 weitere gemeinsame Handelstage.

Kointegration und Halbwertszeit

Ob der Spread überhaupt zum Mittel zurückkehrt, prüft der Engle-Granger-Test nach Engle und Granger (1987): Eine OLS schätzt ln A = α + β × ln B + u, dann prüft ein Augmented-Dickey-Fuller-Test nach Said und Dickey (1984) ohne Konstante, ob u eine Einheitswurzel hat. Die Zahl der verzögerten Differenzen wählt das Akaike-Kriterium, höchstens 12 × (n / 100)^¼, bei 120 Tagen also 12. Den p-Wert liefern die Näherungsformeln von MacKinnon (1994) für zwei Reihen; kointegriert heißt: Die Statistik liegt unter dem kritischen Wert für 5 %.

Die Seite rechnet den Test im ersten Schätzfenster, also vor dem ersten möglichen Signal, und rückblickend über den ganzen Zeitraum; nur der erste ist frei von Vorgriff. Ohne Kointegration handeln die Regeln trotzdem, die Seite weist darauf hin.

Die Halbwertszeit misst, wie schnell eine Abweichung schrumpft. Der Code schätzt per OLS Δu_t = λ × u_(t−1) + c + e_t:

Portfolio von Paaren nach Gatev, Goetzmann und Rouwenhorst

Das zweite Verfahren folgt dem Aufbau von Gatev u. a. (2006): Paare werden in einer Formationsperiode gesucht und in der folgenden Handelsperiode gehandelt (Voreinstellung 12 und 6 Monate, erlaubt 3 bis 36 und 1 bis 24). Jeden Monat beginnt eine neue Kohorte (Abstand erlaubt 1 bis 24 Monate, höchstens die Handelsperiode), es laufen also sechs gleichzeitig. Formationen umfassen volle Kalendermonate; zulässig sind Werte mit einem Kurs an jedem Tag der Formation und am ersten Handelstag.

• Kleinster Abstand (Voreinstellung, Distanzmethode): Kurse auf 1 am ersten Formationstag normiert, Abstand = Summe der quadrierten Differenzen (SSD). Jeder Wert bekommt seinen nächsten Partner, genommen werden die 5 Paare mit dem kleinsten SSD (erlaubt 1 bis 50). Im Handel ist der z-Wert die Differenz der auf den letzten Formationstag normierten Kurse geteilt durch σ, die Standardabweichung dieser Differenz in der Formation.
• Kointegration: Paare nach SSD vorsortiert, Engle-Granger auf ln-Kurse in beiden Richtungen (die mit dem kleineren p-Wert und β > 0); genommen werden die ersten mit p ≤ 0,05 (erlaubt 0,001 bis 0,2), getestet höchstens max(20; 4 × Paare). Der z-Wert ist (ln P_i − β × ln P_j − α) / σ mit den Werten der Formation.

Eröffnet wird wie in der Studie, wenn |z| über 2 Standardabweichungen der Formation liegt (erlaubt 0,5 bis 5): short im teureren, long im billigeren Wert. Geschlossen wird beim nächsten Kreuzen, wenn z das Vorzeichen wechselt, spätestens am Ende der Handelsperiode; ein Paar kann mehrmals öffnen. Kapital wie beim „committed capital“ der Studie: Jede der K gleichzeitigen Kohorten bindet 1/K des Kapitals, gleich verteilt auf ihre Paare, auch auf Paare ohne Trade. Ein Paar eröffnet dollar-neutral (nach Hedge-Ratio nur mit Kointegration) mit Brutto-Hebel / (K × Paare) des aktuellen Kapitals; der Rest liegt verzinst im Cash.

Faktor-Residuen nach Avellaneda und Lee

Avellaneda und Lee (2010) handeln jede Aktie gegen einen Faktor. Der Code schätzt an jedem Tag t aus den letzten 60 Tagesrenditen (wie im Papier; erlaubt 20 bis 500) eine Regression gegen einen Faktor-ETF (voreingestellt SPY) oder gegen den gleichgewichteten Korb des Universums. Die aufsummierten Residuen behandelt er als Ornstein-Uhlenbeck-Prozess nach Uhlenbeck und Ornstein (1930), geschätzt als AR(1):

Gültig ist die Schätzung nur mit 0 < b < 1. Handelbar ist eine Aktie nur bei schneller Rückkehr: κ über 252/30 ≈ 8,4 (erlaubt 0 bis 252), also b unter 0,967. Die Schwellen sind die des Papiers: Long eröffnen bei s < −1,25, Short bei s > +1,25 (erlaubt 0,1 bis 5), Long schließen bei s > −0,50, Short bei s < +0,75 (erlaubt −5 bis 5, näher am Gleichgewicht als das Eröffnen). Geschlossen wird auch, wenn κ unter die Grenze fällt oder Kurse fehlen; eine Höchstdauer gibt es nur auf Wunsch.

Jeder Trade kauft (verkauft) eine Einheit der Aktie und verkauft (kauft) β Einheiten des Faktors, mit β vom Signaltag. Eine Einheit ist Brutto-Hebel / Zahl der Aktien; die „2+2“-Hebelung des Papiers mit je 100 Positionen long und short entspräche 2/100. Vergleich ist der Faktor selbst.

Rang Long/Short

Das vierte Verfahren bildet am letzten Handelstag jedes vollständigen Monats eine Rangliste: long die k Werte mit dem höchsten Signal, short die k mit dem niedrigsten (Voreinstellung 3, erlaubt 1 bis 20). Zur Wahl stehen Momentum 12-1 nach Jegadeesh und Titman (1993) (Rendite von 252 bis 21 Handelstage zurück), Umkehr über einen Monat nach Jegadeesh (1990) (long die Verlierer, short die Gewinner der letzten 21 Handelstage) und niedrige Volatilität nach Ang u. a. (2006) (long die ruhigsten, short die unruhigsten Werte, gemessen an 252 Tagesrenditen).

Dollar-neutral (Voreinstellung) bekommt jeder Wert ±Brutto-Hebel / (2k). Beta-neutral, wie die Portfolios von Frazzini und Pedersen (2014), verteilt der Code den Brutto-Hebel so auf die Seiten, dass das Netto-Beta null ist; die Betas schätzt er über 252 Tage (erlaubt 60 bis 756) gegen einen Faktor-ETF oder den gleichgewichteten Korb. Ist ein Seiten-Beta nicht positiv, bleibt der Monat dollar-neutral. Bleibt ein Wert auf seiner Seite, wird er nur auf das neue Gewicht angepasst, Kosten fallen auf die Änderung.

Buchhaltung: Hebel, Kosten, Leihgebühr und Zins

Alle Verfahren laufen durch dieselbe Tagesbuchhaltung, gebaut wie die Gewinn-und-Verlust-Gleichung bei Avellaneda und Lee (2010):

Positionen laufen mit den Kursen mit und werden nur bei Signalen gehandelt. Short-Erlöse liegen als Sicherheit im Cash (Kapital minus Netto-Position); negatives Cash kostet denselben Zins. Der Brutto-Hebel (Long plus Short je Kapital, Voreinstellung 2, erlaubt 0,1 bis 10) gilt beim Eröffnen, bemessen am Kapital vor den Kosten des Tages. Der Code schließt zuerst, passt dann an und eröffnet zuletzt; Kosten rechnet er je Position ohne Verrechnung gegenläufiger Orders, also eher zu hoch. Ist das Kapital aufgebraucht, ruht die Strategie.

Ein Trade reicht vom Eröffnen bis zum Schließen; sein Ergebnis enthält Kosten und Leihgebühr, nicht aber den Zins auf das Kapital. Steuern rechnet die Seite nicht.

Ergebnisse und Kennzahlen

Die Seite zeigt den Wert der Strategie neben dem Vergleich und dem Cash, dazu Drawdowns, Kalenderjahre und die Kennzahlen wie im Backtest, mit dem Vergleich als Index für Beta und Alpha. Bei einem Beta nahe null (|β| < 0,1) blendet sie die Treynor Ratio aus, weil Überrendite geteilt durch β dann explodiert. Dazu kommen:

• Trades und Trefferquote: geschlossene Trades und Anteil mit Gewinn; unter zehn Trades weist die Seite darauf hin, dass die Zahlen wenig aussagen.
• Haltedauer, Ergebnis je Trade, Umschlag und Exposure: Ø Handelstage, Ø Ergebnis auf das Brutto-Nominal beim Eröffnen, Umschlag pro Jahr in Vielfachen des Kapitals, Ø Brutto (Long + Short) und Netto (Long − Short) je Kapital, Zeit im Markt.
• Woher das Ergebnis kommt: aufsummierte Beiträge von Long- und Short-Seite, Zins, Kosten und Leihgebühr in % des Kapitals.
• Je Verfahren: z-Wert, Spread und Kointegrationstest beim Paar, Kohorten beim Paar-Portfolio, s-Scores mit κ bei den Residuen, die letzte Rangliste beim Rangverfahren; dazu die neuesten 1.000 Trades.

Grenzen

• Überlebende Werte: Die Vorlagen enthalten heutige Mitglieder, ein Survivorship Bias. Pleiten und Übernahmen fehlen, die Ergebnisse wirken eher zu gut.
• Leerverkauf vorausgesetzt: Die Seite nimmt an, dass jeder Wert leihbar ist, zu fester Gebühr und ohne Rückruf. In der Praxis schwanken Leihgebühren, und Titel werden zurückgerufen, wie Engelberg u. a. (2018) zeigen.
• Pauschale Kosten: ein Satz für Spread, Gebühren und Kursabschläge; in Stressphasen sind echte Kosten höher.
• Schlusskurse: Signal und Handel zum Schlusskurs. Die Voreinstellung handelt erst am nächsten Tag, wie die „Wait one day“-Variante bei Gatev u. a. (2006); das nimmt den Bid-Ask-Bounce heraus, das Springen des Schlusskurses zwischen Geld- und Briefkurs.
• Ausprobieren: Wer viele Paare, Fenster und Schwellen testet, findet zufällig gute (Backtest-Overfitting).
• Keine Steuern und Margin-Regeln: Steuern, Nachschüsse und Zwangsglattstellungen durch den Broker rechnet die Seite nicht. Keine Anlageberatung.

Diese Seite beschreibt, wie Portfolio Lab rechnet; Ergebnisse aus der Vergangenheit sind keine Prognose. Alle Begriffe im Glossar.