Szenarien-Methodik: wie Portfolio Lab Stresstests rechnet
Der Reiter Szenarien auf der Seite Risiko ist ein Stresstest für das heutige Portfolio: Er rechnet aus, was ein Schock bei Aktien, Zinsen, Dollar, Rohöl, Gold oder Kreditaufschlägen bewirkt, wie sich historische Krisen auf dieses Portfolio übertragen und welche Bewegung eines Faktors einen vorgegebenen Verlust auslöst. Grundlage ist ein lineares Faktormodell aus Monatsrenditen. Diese Seite beschreibt, was der Code in core/scenarios.py tatsächlich rechnet.
Daten und Faktoren
Grundlage sind dieselben Daten wie auf der ganzen Seite Risiko: Monatsrenditen abgeschlossener Monate in der Basiswährung der Einstellungen, für alle Positionen im gemeinsamen Zeitraum, bei den Zielgewichten des gewählten Portfolios (nur positive Gewichte, auf 100 % skaliert). Positionen mit kurzer Historie verlängert ihr Proxy aus dem Raster. Dazu kommen sieben Faktoren als Monatsreihen, die die App schon an anderer Stelle nutzt. Jede Reihe lädt der Code einzeln über ihre ganze verfügbare Historie, damit ein kurzer Faktor die anderen nicht abschneidet.
| Faktor | Monatswert | Reihe |
|---|---|---|
| Aktien Welt | Rendite in % | Anlageklasse Aktien Welt (Industrieländer) |
| Zinsen Euro | Änderung in Prozentpunkten | Rendite zehnjähriger Bundesanleihen am Monatsende, davor Monatsmittel |
| Zinsen USA | Änderung in Prozentpunkten | Rendite zehnjähriger US-Staatsanleihen am Monatsende, davor Monatsmittel |
| US-Dollar | Rendite in % | Wechselkurs des US-Dollars in der Basiswährung am Monatsende |
| Rohöl | Rendite in % | Anlageklasse Rohöl WTI (Future) |
| Gold | Rendite in % | Anlageklasse Gold |
| Kredit | Überrendite in % | Unternehmensanleihen USD (Investment Grade) minus US-Staatsanleihen 10 J. |
Die Renditen der Anlageklassen sind in der Basiswährung gerechnet; Aktien Welt enthält für Euro-Anleger also auch die Wechselkurse, die Regression trennt den Dollar über seinen eigenen Faktor. Beim Kreditfaktor heben sich die Wechselkurse bis auf einen kleinen Kreuzterm auf, weil beide Anlageklassen in derselben Währung notieren. Bei der Basiswährung US-Dollar entfällt der Dollar-Faktor. Fehlt eine Reihe beim Abruf, rechnet die Seite ohne diesen Faktor und nennt ihn im Hinweis. Die Zinsreihen stammen aus den Statistiken der Zentralbanken; wo es nur Monatsmittel gibt, ergänzen sie die Monatsendstände nur davor.
Bewusst nicht im Modell sind Kreditaufschläge in Euro (die Reihe der Euro-Unternehmensanleihen beginnt erst 2009), die Steigung der Zinskurve, weitere Währungen wie Pfund, Yen oder Franken, Volatilität und Inflation. Für diese Risiken gibt es entweder keine lange Monatsreihe in der App, oder sie würden das Modell bei 60 Monaten überfrachten. Positionen, die vor allem davon abhängen, erkennst du am niedrigen R².
Regression je Position
Je Position schätzt der Code eine Kleinste-Quadrate-Regression der Monatsrenditen auf alle gewählten Faktoren mit Achsenabschnitt, über die letzten 36, 60 oder 120 gemeinsamen Monate oder die ganze gemeinsame Historie; voreingestellt sind 60 Monate wie auf der übrigen Seite. Nötig sind mindestens 36 Monate und mindestens dreimal so viele Monate wie Koeffizienten. Mit allen sieben Faktoren sind das 24, es bleibt also bei 36. Ein Faktor, dessen Reihe vor dem letzten Monat endet oder im Zeitraum zu kurz ist, fällt mit Hinweis heraus.
rᵢₜ = αᵢ + Σₖ βᵢₖ fₖₜ + εᵢₜ
R²ᵢ = 1 − SSEᵢ / SSTᵢ, Restvolatilität = √(SSEᵢ / (T − K − 1)) × √12
β_p,k = Σᵢ wᵢ βᵢₖ- rᵢₜ
- Monatsrendite der Position i im Monat t
- fₖₜ
- Wert des Faktors k: Rendite oder Zinsänderung in Prozentpunkten
- βᵢₖ
- Beta: Rendite je Einheit des Faktors, bei Zinsen je Prozentpunkt
- T, K
- Zahl der Monate und der Faktoren
- wᵢ
- Zielgewicht der Position
Die Portfolio-Betas sind die gewichtete Summe der Betas. Sie stimmen genau mit einer Regression der Portfolio-Rendite überein, deren R² die Seite zusätzlich zeigt. Zu jedem Beta gibt es einen t-Wert aus den klassischen Standardfehlern. Erklären die Faktoren weniger als 50 % der Schwankung einer Position oder des Portfolios, erscheint ein Hinweis: Dann erfasst jedes Szenario nur einen Teil des Risikos. Eng verwandte Faktoren wie Aktien und Kredit oder Zinsen in Euro und Dollar teilen sich die Wirkung (Multikollinearität). Einzelne Betas schwanken dann stark, ihre Summe im Szenario ist aber gut bestimmt. Wer stabilere Betas will, wählt weniger Faktoren.
Hypothetische Szenarien
Ein Szenario besteht aus Schocks für einen oder mehrere Faktoren, etwa Aktien −30 % oder Zinsen Euro +2 Prozentpunkte. Für die übrigen Faktoren gibt es zwei Modi. Isoliert bleiben sie bei null. Mit Korrelationen (Voreinstellung) nehmen sie ihren bedingten Erwartungswert an, wie ihn Kupiec (1998) für Stresstests vorschlug: Bei gemeinsam normalverteilten Faktoren mit Mittelwert null ist das die Bewegung, die man im Mittel erwartet, wenn die geschockten Faktoren genau die vorgegebenen Werte haben. Die Kovarianzmatrix Σ ist die Stichprobe der Faktoren im Regressionszeitraum.
f_S = s, f_U = Σ_US Σ_SS⁻¹ s
ΔV / V = Σₖ β_p,k fₖ = Σᵢ wᵢ Σₖ βᵢₖ fₖ
d = √(fᵀ Σ⁻¹ f)- S, U
- geschockte und übrige Faktoren
- s
- Schocks der geschockten Faktoren
- β_p,k fₖ
- Beitrag des Faktors k; die Beiträge je Faktor und je Position summieren sich genau zur Wirkung
- d
- Mahalanobis-Distanz des ganzen Faktorvektors vom Normalfall, in Monats-Standardabweichungen
Alphas gehen nicht ein: Ein Schock ist eine Abweichung vom Normalfall, kein Monat mit dem üblichen Ertrag; auch die Mittelwerte der Faktoren setzt der Code auf null. Zu jedem Faktorwert steht sein z-Wert fₖ/σₖ in Monats-Standardabweichungen, zum ganzen Szenario die Mahalanobis-Distanz. Nach Breuer u. a. (2009) ist der bedingte Erwartungswert unter allen Ergänzungen der übrigen Faktoren die plausibelste, seine Mahalanobis-Distanz ist die kleinste. Dieselbe Distanz nutzen Kritzman und Li (2010) als Maß für finanzielle Turbulenz. Wer Ursachen und Folgen eines Szenarios ausdrücklich modellieren will, kann Bayes-Netze nutzen (Rebonato 2010); Portfolio Lab bleibt beim einfacheren bedingten Erwartungswert.
Ist ein Depotwert angegeben, stehen alle Wirkungen auch als Betrag da. Als Maß für die Unsicherheit nennt die Seite die Restvolatilität des Portfolios für einen Monat. Fünf Vorlagen setzen typische Schocks: Aktiencrash (Aktien −30 %), Zinsschock (Zinsen Euro +2 Prozentpunkte), Stagflation (Aktien −20 %, Zinsen Euro +1,5 Prozentpunkte, Rohöl +50 %), Dollar-Schwäche (US-Dollar −10 %) und Kreditkrise (Kredit −6 %). Zulässig sind Schocks bis −95 % bei Aktien und Rohöl und bis ±5 Prozentpunkte bei den Zinsen.
Historische Krisen
Für jedes hinterlegte Krisenfenster misst der Code die Bewegung jedes Faktors vom Ende des Monats vor dem ersten bis zum Ende des letzten Monats: Renditen verkettet als Π(1 + fₜ) − 1, Zinsänderungen summiert. Diese Bewegungen wirken über die heutigen Betas auf das heutige Portfolio, genau wie ein hypothetisches Szenario, das alle Faktoren vorgibt. So lässt sich auch ein Fonds ohne Kurse aus dieser Zeit durch die Krise rechnen. Fehlt einem Faktor im Fenster auch nur ein Monat (Rohöl reicht als Monatsreihe weniger weit zurück als die übrigen Faktoren), steht für ihn der bedingte Erwartungswert aus den vorhandenen Faktoren. Fenster ohne jede Faktorreihe oder mit Monaten nach dem letzten abgeschlossenen Monat entfallen. Aufsichtliche Grundsätze verlangen Szenarien, die schwer, aber plausibel sind (Basler Ausschuss für Bankenaufsicht 2018). Hinterlegt sind zwölf Fenster vom Schwarzen Montag bis zum Zollschock 2025:
| Krise | Fenster | Kennzeichen |
|---|---|---|
| Schwarzer Montag | 10/1987 | Kurssturz im Oktober 1987 |
| Russlandkrise | 08/1998 | Zahlungsausfall Russlands, Schieflage des Hedgefonds LTCM |
| Dotcom-Crash | 04/2000–09/2002 | Platzen der Technologieblase, Bärenmarkt bis Herbst 2002 |
| Finanzkrise | 11/2007–02/2009 | Hypotheken- und Bankenkrise vom Hoch 2007 bis zum Tief 2009 |
| Lehman-Pleite | 09/2008–10/2008 | Die zwei schärfsten Monate der Finanzkrise |
| Euro-Schuldenkrise | 05/2011–09/2011 | Schuldenkrise im Euroraum und Herabstufung der USA |
| Taper Tantrum | 05/2013–06/2013 | Sprung der Anleiherenditen nach Andeutung weniger Anleihekäufe der Fed |
| Ölpreisverfall und China | 08/2015–02/2016 | Abwertung des Yuan, fallender Ölpreis, Sorgen um das Wachstum |
| Ausverkauf Ende 2018 | 10/2018–12/2018 | Zinserhöhungen und Handelsstreit im vierten Quartal 2018 |
| Corona-Crash | 02/2020–03/2020 | Einbruch zu Beginn der Pandemie |
| Zinswende und Inflation | 01/2022–09/2022 | Inflationsschub, Aktien und Anleihen fallen gemeinsam |
| Zollschock 2025 | 03/2025–04/2025 | US-Zölle, Kursrutsch und schwacher US-Dollar |
Haben alle Positionen Renditen für jeden Monat des Fensters, steht daneben die tatsächliche Wiederholung: Π(1 + Σ wᵢ rᵢₜ) − 1, jeden Monat auf die Zielgewichte zurückgesetzt wie in der Risikozerlegung, mit Proxys wie im Raster. Die Abweichung zwischen Modell und Wiederholung kommt aus dem Restrisiko der Positionen, den Alphas, der Verkettung über mehrere Monate (das Modell wendet die Betas auf die ganze Bewegung des Fensters an) und daraus, dass die Betas aus dem heutigen Schätzzeitraum stammen. Bei langen Fenstern wie dem Dotcom-Crash ist sie deshalb meist größer.
Umgekehrter Stresstest
Der umgekehrte Stresstest sucht für einen gewählten Faktor j den Schock, der das Portfolio um einen vorgegebenen Verlust L bewegt; voreingestellt sind 20 %, zulässig 0,5 % bis 90 %. Weil das Modell linear ist, gibt es eine geschlossene Lösung. Mit Korrelationen bewegt sich der ganze Faktorvektor in Richtung c, je Einheit des Faktors j um die Regressionssteigung der übrigen Faktoren auf ihn; isoliert bewegt sich nur der Faktor selbst.
s = L / (β_pᵀ c), f = s × c
mit Korrelationen cₖ = Σₖⱼ / Σⱼⱼ (also cⱼ = 1), isoliert c = eⱼ- L
- Zielwirkung, als Verlust negativ
- c
- Richtung des Szenarios je Einheit des Faktors j
- eⱼ
- Einheitsvektor: nur der Faktor j bewegt sich
Die Seite rechnet das für alle Faktoren und markiert als erreichbar, was im zulässigen Bereich des Faktors liegt. Reagiert das Portfolio in einer Richtung gar nicht, gibt es keine Lösung. Ein linearer umgekehrter Stresstest findet nur die Größe des Schocks entlang einer festen Richtung; Glasserman u. a. (2015) zeigen, wie man stattdessen die wahrscheinlichste Kombination von Faktorbewegungen hinter einem großen Verlust bestimmt.
Grenzen
- Linear: Das Modell kennt keine Konvexität. Bei großen Zinsschritten verliert eine Anleihe weniger und gewinnt mehr, als die lineare Rechnung sagt (siehe Szenarioanalyse); Optionen, Hebelprodukte und Wertsicherungsstrategien reagieren ganz anders als ihr Beta.
- Schätzzeitraum: Betas und Korrelationen stammen aus den gewählten Monaten. In Krisen steigen Korrelationen oft Longin und Solnik (2001); Kim und Finger (2000) schätzen deshalb eigene Korrelationen für Stressphasen. Korrelationen aus ruhigen Jahren machen Szenarien zu mild.
- Vorzeichen können kippen: Ob die Zinsen bei einem Aktiencrash fallen oder steigen, hängt vom Zeitraum ab. In Jahren mit Inflationsschocks laufen Aktien und Zinsen anders zusammen als in Jahren mit Wachstumsschocks.
- Monatsdaten: Einbrüche innerhalb eines Monats, die sich bis zum Monatsende erholen, sieht das Modell nicht. Historische Fenster messen von Monatsende zu Monatsende.
- Keine Wahrscheinlichkeit: Ein Szenario nennt einen Verlust, aber nicht, wie wahrscheinlich er ist Berkowitz (2000). Die Mahalanobis-Distanz ordnet Szenarien nur nach Plausibilität; Wahrscheinlichkeiten liefert der Value at Risk.
- Faktorauswahl: Risiken außerhalb der sieben Faktoren, etwa Einzeltitel, Branchen oder Schwellenländer-Währungen, stecken im Restrisiko. Ein niedriges R² zeigt das an.
Häufige Fragen
Was bedeutet „mit Korrelationen“?
Die nicht geschockten Faktoren bewegen sich so, wie es ihre Korrelationen mit den geschockten Faktoren im Schätzzeitraum im Mittel erwarten lassen: f_U = Σ_US Σ_SS⁻¹ s. Isoliert bleiben sie bei null.
Warum weicht das Modell bei historischen Krisen von der tatsächlichen Wiederholung ab?
Das Modell wendet die heutigen Betas auf die Bewegung der Faktoren an. Restrisiko der Positionen, Alphas, die Verkettung über mehrere Monate und Betas, die sich seit der Krise geändert haben, erklären die Differenz.
Wie viele Monate braucht die Regression?
Mindestens 36 gemeinsame Monate und mindestens dreimal so viele wie Koeffizienten. Voreingestellt sind die letzten 60 Monate.
Warum fehlt bei manchen Krisen die tatsächliche Wiederholung?
Sie braucht Renditen aller Positionen für jeden Monat des Fensters. Fonds, die später aufgelegt wurden, lassen sich mit einem Proxy im Raster verlängern; das Modell rechnet auch ohne.
Wie wird der umgekehrte Stresstest gelöst?
Linear und geschlossen: Schock = Zielverlust / (Portfolio-Betas mal Richtung des Szenarios). Mit Korrelationen bewegen sich die übrigen Faktoren je Einheit um Kovarianz durch Varianz mit.
Literatur
- Basel Committee on Banking Supervision (2018): Stress testing principles. Bank für Internationalen Zahlungsausgleich, 17.10.2018; abgerufen am 25.10.2026. Quelle
- Berkowitz, Jeremy (2000): A coherent framework for stress testing. The Journal of Risk 2 (2), S. 5–15. doi:10.21314/jor.2000.021
- Breuer, Thomas; Jandačka, Martin; Rheinberger, Klaus; Summer, Martin (2009): How to Find Plausible, Severe, and Useful Stress Scenarios. International Journal of Central Banking 5 (3), S. 205–224. Quelle
- Glasserman, Paul; Kang, Chulmin; Kang, Wanmo (2015): Stress scenario selection by empirical likelihood. Quantitative Finance 15 (1), S. 25–41. doi:10.1080/14697688.2014.926019
- Kim, Jongwoo; Finger, Christopher (2000): A stress test to incorporate correlation breakdown. The Journal of Risk 2 (3), S. 5–19. doi:10.21314/jor.2000.026
- Kritzman, Mark; Li, Yuanzhen (2010): Skulls, Financial Turbulence, and Risk Management. Financial Analysts Journal 66 (5), S. 30–41. doi:10.2469/faj.v66.n5.3
- Kupiec, Paul H. (1998): Stress Testing in a Value at Risk Framework. The Journal of Derivatives 6 (1), S. 7–24. doi:10.3905/jod.1998.408008
- Longin, François; Solnik, Bruno (2001): Extreme Correlation of International Equity Markets. The Journal of Finance 56 (2), S. 649–676. doi:10.1111/0022-1082.00340
- Rebonato, Riccardo (2010): Coherent Stress Testing: A Bayesian Approach to the Analysis of Financial Stress. Wiley. doi:10.1002/9781118374719
Diese Seite beschreibt, wie Portfolio Lab rechnet; Ergebnisse aus der Vergangenheit sind keine Prognose. Alle Begriffe im Glossar.