Takahashi-Alexander-Modell: Cashflows von Private-Markets-Fonds planen

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Wer in geschlossene Fonds investiert, sagt Geld zu, das der Verwalter erst nach und nach abruft und Jahre später zurückzahlt. Das Takahashi-Alexander-Modell, nach seiner Herkunft auch Yale-Modell genannt, sagt mit fünf Parametern voraus, wann Abrufe und Ausschüttungen kommen und wie sich der Fondswert (NAV) entwickelt. Dieser Artikel erklärt die Formeln, rechnet einen Fonds Jahr für Jahr durch, zeigt, wie man die Parameter aus Daten schätzt, und plant damit Zusagen über viele Jahrgänge, bis eine Zielquote erreicht ist.

Herkunft: das Modell der Yale-Stiftung

Dean Takahashi und Seth Alexander arbeiteten im Investment Office der Yale University, deren Stiftung nach dem Endowment-Modell einen hohen Anteil illiquider Anlagen hält. Auch dieses Anlagekonzept heißt oft Yale-Modell; gemeint ist hier nur das Cashflow-Modell. Takahashi und Alexander (2002) veröffentlichten ihr Modell im Journal of Portfolio Management. Es soll institutionellen Anlegern helfen, künftige Fondswerte und Zahlungsströme für Venture Capital, Leveraged Buyouts, Immobilien und Rohstoffbeteiligungen zu projizieren. Die bisherigen Zahlen der eigenen Fonds dienen als Ausgangspunkt, und Szenarien mit anderen Zusagen, Abruf- und Ausschüttungsannahmen und Renditen lassen sich schnell durchspielen.

Das Problem dahinter kennt jeder Anleger in Private Markets: Die Kapitalzusage ist nicht gleich der Investition. Der Verwalter ruft das Geld ab, wenn er es braucht, und zahlt es zurück, wenn er Beteiligungen verkauft. Laut Kaplan und Strömberg (2009) läuft ein Buyout-Fonds meist zehn Jahre, verlängerbar um bis zu drei. Wer eine feste Quote halten und jederzeit zahlungsfähig bleiben will, muss diese Zahlungen vorhersagen. Das Modell tut das bewusst einfach: deterministisch, mit wenigen, gut erklärbaren Stellgrößen.

Die Formeln

Gerechnet wird in Jahren t = 1, 2, … ab der Zusage, alle Zahlungen am Jahresende. Jedes Jahr wächst der NAV mit G, ein Teil davon wird ausgeschüttet, und neue Abrufe kommen hinzu:

Die Abrufe schrumpfen geometrisch, weil jedes Jahr ein fester Anteil des Rests abgerufen wird. Die Ausschüttungsrate steigt dagegen mit dem Alter des Fonds: (t / L)^B ist am Anfang klein und erreicht im Jahr L genau 100 %, dann wird der ganze restliche NAV ausgeschüttet. Solange (t / L)^B unter Y liegt, gilt die Mindestausschüttung Y; sie steht für laufende Erträge wie Mieten, Zinsen oder Dividenden. In der hier verwendeten Form ruft der Fonds ab dem Jahr L nichts mehr ab, und was bis dahin nicht abgerufen wurde, verfällt.

Was die Parameter bewirken

Den größten Einfluss auf den Verlauf hat der Bow-Faktor B. Mit B = 1 steigt die Ausschüttungsrate gleichmäßig um 1 / L pro Jahr, im sechsten von zwölf Jahren fließt die Hälfte des NAV zurück. Mit B = 2,5 sind es in Jahr 6 erst 17,68 % und in Jahr 9 48,71 %, mit B = 5 übersteigt die Rate die Mindestausschüttung erst in Jahr 7 (6,8 %). Je größer B, desto länger bleibt das Geld im Fonds, desto höher wird der NAV und desto stärker ballen sich die Rückflüsse am Ende. Venture-Capital-Fonds mit wenigen späten Verkäufen passen eher zu großem B, Immobilien- oder Kreditfonds mit laufenden Erträgen eher zu einem höheren Y.

Rechenbeispiel Jahr für Jahr

Eine Zusage von 100 an einen Fonds mit zwölf Jahren Laufzeit, Abrufquote 25 % in jedem Jahr, Bow-Faktor 2,5, Wachstum 10 % und Mindestausschüttung 5 %, also die Annahmen aus dem Rechenbeispiel zum Yale-Modell und zusätzlich ein Wachstum. Die ersten drei Jahre ausführlich:

Kalibrierung: woher die Parameter kommen

Die Parameter sind keine Naturkonstanten. Man schätzt sie aus den Zahlungen eigener oder vergleichbarer Fonds, getrennt nach Strategie, weil Buyout, Venture Capital, Immobilien und Private Debt sehr unterschiedlich abrufen und ausschütten. Jede Größe hat ein beobachtbares Gegenstück:

• Abrufquote: RC_t = C_t / offene Zusage am Jahresanfang, gemittelt über Fonds gleichen Alters. Ein Fonds, der nach drei Jahren 57,81 % abgerufen hat, passt zu 25 % pro Jahr: 1 − 0,75³.
• Bow-Faktor und Mindestausschüttung: aus der beobachteten Ausschüttungsrate D_t / (NAV_t−1 × (1 + G)) je Fondsalter; Y entspricht der Rate in den ersten Jahren, B folgt aus RD_t = (t / L)^B, also B = ln RD_t / ln(t / L).
• Wachstum: die erwartete Rendite des Fonds nach Gebühren. Weil G im Modell der IRR ist (siehe unten), passt die Annahme zur Renditeerwartung der Strategie.
• Laufzeit: aus dem Fondsvertrag, mit den üblichen Verlängerungen.

Für ein bestehendes Portfolio startet man das Modell nicht bei null, sondern beim heutigen NAV und der heutigen offenen Zusage jedes Fonds und rechnet ab seinem aktuellen Alter weiter. So machten es schon Takahashi und Alexander (2002): Sie verbinden die tatsächliche Historie mit der Prognose und vergleichen jedes Jahr Prognose und Wirklichkeit.

Commitment-Pacing: Zusagen über viele Jahrgänge

Wer dauerhaft eine Quote in Private Markets halten will, sagt jedes Jahr neu zu, Jahrgang für Jahrgang. Diese Planung heißt Commitment-Pacing. Weil nie die ganze Zusage gleichzeitig investiert ist und frühe Jahrgänge schon ausschütten, während neue noch abrufen, muss man mehr zusagen, als der Zielquote entspricht. Die Summe aus NAV und offenen Zusagen liegt dann über dem Ziel: das Overcommitment. Das Modell beantwortet, wie viel Overcommitment nötig ist und wie viel Liquidität dafür bereitstehen muss.

Das Beispiel rechnet mit einem Vermögen von 100, das anfangs vollständig liquide ist und dort 5 % pro Jahr erzielt. Zu Beginn jedes Jahres sagt der Anleger einen festen Anteil seines Vermögens zu; jeder Jahrgang folgt dem Rechenbeispiel oben. Abrufe gehen vom liquiden Teil ab, Ausschüttungen fließen dorthin zurück. Gesucht ist die gleichbleibende Zusagenquote, bei der die Private-Markets-Quote auf Dauer 15 % erreicht:

Zwei Folgen sind wichtig. Erstens dauert der Aufbau fast so lange wie ein Fonds: Mit der gelösten Quote ist das Ziel erst im zehnten Jahr erreicht; wer schneller ans Ziel will, sagt am Anfang mehr zu und reduziert später. Zweitens müssen die offenen Zusagen, im Beispiel 8,99 % des Vermögens, jederzeit abrufbar sein. Im eingeschwungenen Zustand finanzieren die Ausschüttungen der alten Jahrgänge die Abrufe der neuen weitgehend selbst; in einer Krise kann das kippen, wenn Ausschüttungen ausbleiben, während Abrufe weiterlaufen. Dazu kommt der Denominator-Effekt: Fällt der liquide Teil, steigt die Quote ohne eine einzige neue Zusage.

Für Fortgeschrittene: Eigenschaften und Erweiterungen

• IRR gleich G: Teilt man NAV_t = NAV_t−1 × (1 + G) + C_t − D_t durch (1 + G)^t, folgt NAV_t / (1 + G)^t − NAV_t−1 / (1 + G)^(t−1) = (C_t − D_t) / (1 + G)^t. Aufsummiert ist der Barwert aller Zahlungen samt Restwert zum Satz G null. Der IRR seit Beginn ist also in jedem Jahr G, und der TVPI hängt allein davon ab, wie lange das Geld im Fonds bleibt.
• Linear in der Zusage: Alle Zahlungen sind proportional zu CC. Ein Programm aus vielen Jahrgängen ist die Summe der Einzelverläufe, gewichtet mit den Zusagen, mathematisch eine Faltung. Mit Zusagen in festem Anteil am Vermögen pendelt sich die Quote auf einen festen Wert ein, den ein Löser treffen kann.
• Stochastische Modelle: Buchner u. a. (2010) modellieren die Abrufrate als mittelwertrückkehrenden Wurzelprozess und die Ausschüttungen als Brownsche Bewegung mit zeitabhängiger Drift, geschätzt mit bedingten kleinsten Quadraten an europäischen Fonds. Ihr Modell erklärt bis zu 99,6 % der Schwankung der durchschnittlichen kumulierten Nettozahlungen und liefert anders als das Yale-Modell eine Verteilung statt eines Pfads.
• Dynamische Zusagen: de Zwart u. a. (2012) entwickeln eine Strategie, die jedes Jahr neu festlegt, wie viel zugesagt wird, abhängig von erhaltenen Ausschüttungen, offenen Zusagen und der aktuellen Quote im Vergleich zum Ziel. Das Yale-Modell liefert dafür die erwarteten Zahlungen der bestehenden Fonds.
• Messen statt planen: Ob ein Fonds tatsächlich gut war, zeigt das Modell nicht. Dafür gibt es den PME nach Kaplan und Schoar (2005) und Direct Alpha nach Gredil u. a. (2023), die die echten Zahlungen mit einem Index vergleichen.

Grenzen und typische Fehler

• Deterministisch: Das Modell liefert einen Erwartungspfad. Echte Fonds rufen unregelmäßig ab, schütten in Wellen aus und streuen stark untereinander.
• Keine Marktabhängigkeit: Abrufe und Ausschüttungen hängen in Wirklichkeit vom Markt ab. In Krisen stocken Verkäufe und Ausschüttungen, während Abrufe weiterlaufen; Szenarien mit kleinerem G und späteren Ausschüttungen gehören deshalb dazu.
• Kein Risiko im NAV: Der NAV wächst glatt mit G. Für Volatilität und Korrelation taugt er nicht; dafür braucht es entglättete Reihen oder börsennotierte Stellvertreter.
• Gebühren und Rückrufe: Verwaltungsgebühren, wieder abrufbare Ausschüttungen, Kreditlinien und Laufzeitverlängerungen kennt das Grundmodell nicht. Sie verschieben Zahlungen und gehören in die Parameter oder in eigene Zuschläge.
• Alte Parameter für neue Fonds: Kalibriert an einer anderen Zinsphase oder Strategie, liegen Tempo und Form daneben. Prognose und tatsächliche Zahlungen regelmäßig vergleichen.

So rechnet Portfolio Lab

Das Werkzeug Private Markets im Bereich Planen rechnet im Reiter Prognose genau die Formeln oben, Jahr für Jahr mit Zahlungen am Jahresende. Abrufquoten lassen sich je Jahr eingeben, danach gilt der letzte Wert; ab dem Jahr L ruft der Fonds nichts mehr ab, und der Rest der Zusage verfällt. Der Reiter Zusagen planen legt jedes Jahr einen Jahrgang mit demselben Modell an, mit fester Zusage oder in Prozent des Vermögens zu Jahresbeginn, verzinst den liquiden Teil mit einer festen Rendite und zieht auf Wunsch eine jährliche Entnahme ab. Ein Löser sucht die gleichbleibende Zusagenquote, bei der die Quote im eingeschwungenen Zustand die Zielquote trifft (Mittel der letzten L Jahre einer Rechnung über 200 Jahre), und gibt keine Lösung aus, wenn dafür der liquide Teil negativ würde. Der Reiter Fonds auswerten misst echte Fonds mit IRR, TVPI, DPI, PME und Desmoothing wie im Artikel Private Markets messen. Die Einzelheiten stehen in der Methodik von Private Markets.

Dieser Artikel erklärt eine Methode; er ist keine Anlage- oder Steuerberatung. Zahlenbeispiele sind vereinfacht und gerundet. Alle Begriffe im Glossar.