Resampling-Optimierung nach Michaud: stabilere Portfoliogewichte durch Simulation

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Die Resampling-Optimierung nach Richard Michaud nimmt die Schwäche der klassischen Mittelwert-Varianz-Optimierung ernst: Ihre Eingaben sind nur Schätzungen. Statt einmal zu optimieren, simuliert sie viele plausible Datensätze, berechnet für jeden eine Effizienzlinie und mittelt die Gewichte. Das Ergebnis sind breiter gestreute und stabilere Portfolios. Hier lernst du den Ablauf Schritt für Schritt, rechnest ein kleines Beispiel nach und erfährst, was die Forschung für und gegen das Verfahren gefunden hat.

Das Problem: Optimierer lieben Schätzfehler

Die Effizienzlinie nach Markowitz setzt voraus, dass erwartete Renditen, Volatilitäten und Korrelationen bekannt sind. In der Praxis werden sie aus der Vergangenheit geschätzt, und der Optimierer behandelt diese Schätzungen wie Gewissheiten. Michaud (1989) nannte Mittelwert-Varianz-Optimierer deshalb Fehlermaximierer: Sie übergewichten genau die Anlagen, deren Rendite zufällig überschätzt und deren Risiko unterschätzt wurde (Fehlermaximierung).

Wie groß der Schätzfehler ist, wird oft unterschätzt. Die Standardabweichung eines geschätzten Mittelwerts sinkt nur mit der Wurzel der Zahl der Jahre. Bei zwei Aktienmärkten, deren Renditeunterschied mit gut 10 % pro Jahr schwankt, liegt der Standardfehler des mittleren Unterschieds nach zehn Jahren noch bei über 3 Prozentpunkten. Ein gemessener Vorsprung von einem Prozentpunkt ist dann statistisch kaum von null zu unterscheiden. Der Optimierer setzt aber trotzdem alles auf den Sieger. Laut Chopra und Ziemba (1993) wiegen Fehler in den Renditen um ein Vielfaches schwerer als Fehler in Varianzen und Kovarianzen, und Best und Grauer (1991) zeigen, wie kleine Änderungen einer einzigen erwarteten Rendite die Hälfte der Anlagen aus dem Optimum werfen können.

Die Idee: viele plausible Welten statt einer

Resampling heißt wörtlich Neuziehen. Die Schätzung aus den echten Daten gilt als eine von vielen Geschichten, die genauso gut hätten passieren können. Richard und Robert Michaud beschreiben das Verfahren ausführlich in ihrem Buch (Michaud und Michaud 2008) und ließen es 1999 in den USA patentieren (Michaud und Michaud 1999). Der Ablauf:

1. Aus T Monatsrenditen die erwarteten Renditen μ̂ und die Kovarianzmatrix Σ̂ schätzen, wie bei der klassischen Optimierung.
2. S neue Datensätze mit je T Monaten simulieren, meist aus einer Normalverteilung mit genau diesen μ̂ und Σ̂ (Monte-Carlo-Simulation). Alternativ zieht man ganze Monate der echten Daten mit Zurücklegen (Bootstrap, nach Efron (1979)).
3. Aus jedem simulierten Datensatz μ und Σ neu schätzen und die Effizienzlinie unter denselben Gewichtsgrenzen berechnen, an K Punkten vom Minimum-Varianz-Portfolio (Rang 1) bis zum Portfolio mit der höchsten Rendite (Rang K).
4. Die Gewichte je Rang über alle S Simulationen mitteln. Die gemittelten Portfolios bilden die resampelte Effizienzlinie (Resampled Efficient Frontier).
5. Rendite und Risiko der gemittelten Portfolios mit den ursprünglichen μ̂ und Σ̂ bewerten und mit der klassischen Linie vergleichen.

Der Rang verbindet Portfolios mit ähnlicher Stellung auf verschiedenen Linien: Rang 1 ist immer das risikoärmste effiziente Portfolio der jeweiligen Simulation, Rang K das renditestärkste. Michaud und Michaud vermarkten das Verfahren unter eigenem Namen; wir sprechen neutral von Resampling nach Michaud.

Zahlenbeispiel mit zwei Aktienmärkten

Zwei Aktienmärkte, geschätzt aus zehn Jahren Monatsrenditen: Europa mit 7 % erwarteter Rendite und 16 % Volatilität, USA mit 8 % und 17 %, Korrelation 0,8. Gewichte zwischen 0 und 100 %, keine Leerverkäufe. Bei zwei Anlagen lässt sich die klassische Linie von Hand rechnen: Sie beginnt beim Minimum-Varianz-Portfolio und endet bei 100 % in der Anlage mit der höheren geschätzten Rendite; dazwischen liegen die Ränge in gleichen Gewichtsschritten.

Für die Resampling-Rechnung ziehen wir 1.000 Datensätze mit je 120 Monaten aus einer Normalverteilung mit diesen Werten (Monatsmittel und -kovarianz = Jahreswerte / 12, fester Startwert 2026), schätzen jedes Mal neu und mitteln die Gewichte je Rang:

In 64,0 % der simulierten Datensätze lagen die USA vorn, nahe an den analytischen 61,9 %; der Rest ist Monte-Carlo-Fehler. Genau dieser Anteil landet im renditestärksten Rang: Das resampelte Portfolio mit der höchsten Rendite hält 64,0 % USA und 36,0 % Europa statt 100 % USA. Am risikoarmen Ende ändert sich fast nichts, weil das Minimum-Varianz-Portfolio keine Renditeschätzung braucht.

Eigenschaften der resampelten Linie

• Diversifizierter: Anlagen, die nur in einem Teil der Simulationen gewinnen, bekommen ein mittleres Gewicht statt null oder alles. Ecklösungen verschwinden.
• Stabiler: Kleine Änderungen der Eingaben verschieben die Gewichte nur wenig, das senkt den Umschlag beim Neuoptimieren.
• Kürzer und etwas tiefer: Die resampelte Linie reicht nicht bis zur renditestärksten Einzelanlage. Mit den ursprünglichen Schätzungen bewertet, liegt sie auf oder unter der klassischen Linie, denn die klassische ist für diese Schätzung per Definition optimal. Bei zwei Anlagen liegt jede Mischung zwischen Minimum-Varianz und Einzelanlage auf der klassischen Linie; bei mehr Anlagen liegt die resampelte meist leicht darunter.
• Kein Optimum im strengen Sinn: Das gemittelte Portfolio maximiert keine Nutzenfunktion. Es ist ein Durchschnitt von Lösungen, nicht die Lösung eines Entscheidungsproblems unter Unsicherheit.
• Abhängig von den Grenzen: Ein großer Teil der Wirkung entsteht durch das Verbot von Leerverkäufen: Im Beispiel springt jede Simulation an ihrem Ende auf 100 % in einen Markt, und erst der Durchschnitt mischt beide.

Für Fortgeschrittene: Was Resampling korrigiert und was nicht

Das Zentrum bleibt die Schätzung. Alle simulierten Datensätze streuen um μ̂ und Σ̂. Liegt die Schätzung selbst daneben, liegen auch die Simulationen im Mittel daneben. Resampling bildet die Unsicherheit um die Schätzung ab, korrigiert aber keine Verzerrung. Verfahren, die die Renditen selbst zu einem gemeinsamen Wert hin schrumpfen, setzen früher an: der Bayes-Stein-Schätzer von Jorion (1986), Gleichgewichtsrenditen im Black-Litterman-Modell nach Black und Litterman (1992) oder Shrinkage der Kovarianzmatrix nach Ledoit und Wolf (2004) (Kovarianzschätzung).

Bayes als Gegenentwurf. Ein konsequenter Bayes-Anleger optimiert gegen die prädiktive Verteilung: die Verteilung künftiger Renditen, in der die Unsicherheit über die Parameter bereits steckt. Das ist eine Optimierung mit klarer Zielfunktion. Resampling mittelt dagegen Lösungen vieler Optimierungen, deren jede die Unsicherheit ignoriert. Der Unterschied ist nicht nur philosophisch: Gewichte, die unter Unsicherheit optimal sind, müssen nicht dem Durchschnitt der Gewichte entsprechen, die bei bekannten Parametern optimal wären.

Stellschrauben. Die Länge der simulierten Datensätze steuert, wie stark gemittelt wird: Kürzere Reihen bedeuten mehr Streuung der Schätzungen und gleichmäßigere Gewichte, längere nähern sich der klassischen Lösung. Die Zuordnung über Ränge ist eine Konvention; man kann Portfolios auch über dieselbe Risikoaversion oder dieselbe Zielvolatilität verbinden und bekommt leicht andere Linien. Die Zahl der Simulationen bestimmt nur den Monte-Carlo-Fehler, nicht die Logik; er sinkt mit der Wurzel der Zahl der Datensätze und liegt für den Anteil im Beispiel bei 1.000 Datensätzen bei etwa 1,5 Prozentpunkten.

Gewichtsgrenzen wirken ähnlich. Jagannathan und Ma (2003) zeigen, dass ein Leerverkaufsverbot wie Shrinkage der Kovarianzmatrix wirkt. Resampling und Grenzen verstärken sich also: Beide nehmen dem Optimierer die Möglichkeit, auf Schätzfehler extreme Wetten zu bauen.

Was die Forschung zeigt

Scherer (2002) ordnet das Verfahren als durchdachte Heuristik ein, deren Eigenheiten Unerfahrene leicht fehldeuten. Empirisch fanden Fletcher und Hillier (2001) bei internationaler Asset-Allokation von 1983 bis 2000 für die meisten Renditeschätzer etwas höhere Sharpe Ratios mit Resampling als mit klassischer Optimierung, aber kaum Belege für signifikant positive risikobereinigte Überrenditen beider Varianten.

Besonders bekannt ist ein Wettstreit zwischen Resampling und Bayes. In einem Experiment von Markowitz und Usmen (2003) schnitt der Resampling-Spieler besser ab als ein Bayes-Spieler mit diffusem Prior. Harvey u. a. (2008) spielten das Spiel nach: Der Bayes-Spieler hatte im Original mit einer groben Näherung der Verteilung gerechnet. Mit einem üblichen Verfahren fielen die Ergebnisse deutlich anders aus, und in einem Spiel mit Prognose für eine Periode, das näher an der Lage eines normalen Anlegers ist, gewann stets der Bayes-Spieler.

Becker u. a. (2015) vergleichen Markowitz und Michaud in einer großen Simulationsstudie mit vielen Schätzverfahren und einer empirischen Prüfung. Im Durchschnitt schnitt die klassische Optimierung sogar besser ab; wichtiger als die Wahl zwischen beiden waren aber der Schätzer und die Gewichtsgrenzen. Bei hoher Schätzunsicherheit empfehlen sie Grenzen oder die Kovarianzschätzung nach Ledoit und Wolf. Und DeMiguel u. a. (2009) mahnen generell zur Bescheidenheit: Unter 14 Optimierungsmodellen schlug keines außerhalb der Stichprobe die Gleichgewichtung verlässlich.

Grenzen und typische Fehler

• Resampling ist keine Prognose: Es macht schlechte Renditeschätzungen nicht gut, sondern nur weniger gefährlich.
• Glatte Gewichte sind nicht automatisch richtig: Eine Anlage, die in jeder Simulation verliert, bekommt auch resampelt kein Gewicht. Fehlt eine wichtige Anlage im Universum, kann auch Mitteln sie nicht ersetzen.
• In-Sample sieht es schlechter aus: Mit den eigenen Schätzungen bewertet, liegt die resampelte Linie nie über der klassischen. Ihr Vorteil zeigt sich erst außerhalb der Stichprobe, wenn überhaupt.
• Normalverteilung: Die übliche Simulation kennt keine Fat Tails und keine Krisenkorrelationen. Ein Bootstrap ganzer Monate erhält sie, wiederholt aber nur die beobachtete Geschichte.
• Viele Stellschrauben: Länge der simulierten Reihen, Zahl der Ränge und Art der Zuordnung beeinflussen das Ergebnis. Wer sie so lange dreht, bis der Backtest gefällt, landet beim Backtest-Overfitting.
• Fairer Vergleich: Resampling sollte gegen einfache Alternativen wie Gleichgewichtung, Minimum-Varianz mit Grenzen und Hierarchical Risk Parity antreten, nicht nur gegen die ungebremste klassische Optimierung.

So rechnet Portfolio Lab

Die Optimierung bekommt Resampling als dritte Methode neben der klassischen Optimierung und Black-Litterman. Die Schätzung startet wie dort aus den Monatsrenditen des Rasters, mit Stichproben- oder Ledoit-Wolf-Kovarianz. Daraus simuliert die App viele Datensätze gleicher Länge (aus der Normalverteilung wie bei Michaud oder per Bootstrap ganzer Monate), schätzt jeden neu und berechnet seine Effizienzlinie unter deinen Mindest- und Höchstgewichten an festen Rängen, gleichmäßig in der erwarteten Rendite vom Minimum-Varianz-Portfolio bis zum renditestärksten Portfolio.

Die Gewichte je Rang werden gemittelt und mit den ursprünglichen Schätzungen bewertet; die klassische Linie an denselben Rängen steht zum Vergleich daneben, die Streuung der Gewichte über die Simulationen zeigt, wie unsicher sie sind. Gewählt wird der Punkt mit der höchsten Sharpe Ratio oder der höchsten Rendite bis zu einer Zielvolatilität. Ein fester Startwert macht das Ergebnis reproduzierbar, und wie bei den anderen Methoden lässt sich das Verfahren im Walk-forward-Test ohne Vorwissen prüfen. Einzelheiten und Voreinstellungen stehen in der Methodik der Optimierung.

Dieser Artikel erklärt eine Methode; er ist keine Anlage- oder Steuerberatung. Zahlenbeispiele sind vereinfacht und gerundet. Alle Begriffe im Glossar.