Volatility Drag: Warum Schwankung Rendite kostet
Volatility Drag beschreibt einen einfachen, aber oft übersehenen Effekt: Wer +50 % und dann −50 % erlebt, hat nicht null, sondern 25 % verloren. Je stärker Renditen schwanken, desto weiter liegt das tatsächliche Wachstum (geometrisches Mittel) unter dem Durchschnitt der einzelnen Renditen (arithmetisches Mittel). Faustregel: Der Abstand beträgt etwa die halbe Varianz.
Zwei Mittelwerte, zwei Fragen
Das arithmetische Mittel ist der einfache Durchschnitt der Jahresrenditen. Es beantwortet die Frage: Welche Rendite ist für ein einzelnes, zufälliges Jahr zu erwarten? Das geometrische Mittel ist die gleichbleibende Jahresrendite, die zum selben Endvermögen führt, also die CAGR. Es beantwortet die Frage: Wie schnell ist das Vermögen tatsächlich gewachsen?
Der Grund: Gewinne und Verluste werden auf verschiedene Beträge angewendet. Der Verlust von 50 % trifft ein Vermögen, das vorher um 50 % gewachsen ist, und frisst mehr als den Gewinn auf. Je größer die Ausschläge, desto größer der Effekt: Bei ±10 % bleiben nach zwei Jahren immerhin 99 % übrig, bei ±50 % nur 75 %.
Der Durchschnitt der beiden Renditen ist 0 %, das Vermögen aber um ein Viertel kleiner: Der Verlust trifft das gewachsene Vermögen.
Die Faustformel: halbe Varianz
geometrisches Mittel ≈ arithmetisches Mittel − σ² / 2- σ
- Volatilität (Standardabweichung) der Renditen
- σ² / 2
- Volatility Drag, der Abschlag durch Schwankung
Die Formel ist eine Näherung, die für kleine Renditen und normalverteilte Log-Renditen gut passt. Bei 20 % Volatilität beträgt der Abschlag 0,2² / 2 = 2 Prozentpunkte, bei 40 % schon 8 Prozentpunkte. Er wächst also quadratisch: doppelte Volatilität, vierfacher Abschlag.
Die Tabelle zeigt, wie stark der Abschlag mit der Volatilität wächst. Die Werte folgen direkt aus der Faustformel:
| Volatilität p. a. | typische Anlage | Volatility Drag (σ² / 2) |
|---|---|---|
| 5 % | Staatsanleihen mittlerer Laufzeit | 0,125 Prozentpunkte |
| 10 % | Mischportfolio | 0,5 Prozentpunkte |
| 15 % | breites Aktienportfolio | 1,125 Prozentpunkte |
| 20 % | einzelner Aktienmarkt | 2 Prozentpunkte |
| 30 % | Einzelaktie, Rohstoff | 4,5 Prozentpunkte |
| 40 % | sehr schwankungsreiche Anlage | 8 Prozentpunkte |
Bei Anleihen ist der Effekt vernachlässigbar, bei breiten Aktienportfolios spürbar und bei Einzelaktien, Rohstoffen oder Kryptowährungen erheblich. Die Spalte „typische Anlage“ ist nur eine grobe Einordnung; die tatsächliche Volatilität hängt vom Zeitraum ab.
Der Diversifikationsertrag
Aus der Faustformel folgt etwas Erstaunliches: Ein gestreutes Portfolio kann schneller wachsen als jede seiner Anlagen. Diversifikation senkt die Volatilität, ohne das arithmetische Mittel zu senken, und damit auch den Volatility Drag. Booth und Fama (1992) nennen den Unterschied zwischen dem geometrischen Wachstum des Portfolios und dem gewichteten Wachstum der Einzelanlagen den Diversifikationsertrag.
„the underlying source of the diversification return is the rebalancing“Diesen Punkt betont Willenbrock (2011): Der Ertrag entsteht nur, wenn das Portfolio regelmäßig auf seine Zielgewichte zurückgesetzt wird, also Gewinner verkauft und Verlierer gekauft werden. Ohne Rebalancing driften die Gewichte zur besser gelaufenen Anlage, und das Portfolio wird mit der Zeit weniger gestreut. Die stochastische Portfoliotheorie von Fernholz und Shay (1982) beschreibt denselben Mechanismus allgemein: Die Wachstumsrate eines Portfolios übersteigt den gewichteten Durchschnitt der Wachstumsraten seiner Anlagen um einen Betrag, der aus der Streuung entsteht.
Für Fortgeschrittene: Hebel, Kelly und Log-Renditen
Gehebelte ETFs und tägliches Zurücksetzen
Gehebelte ETFs setzen ihren Hebel jeden Tag zurück. Bei schwankenden Märkten ohne Trend verlieren sie dadurch auch dann, wenn der Index am Ende unverändert ist:
Das Kelly-Kriterium
Mit Hebel f auf eine Anlage mit Überrendite μ − r und Volatilität σ wächst das Vermögen näherungsweise mit r + f × (μ − r) − f² × σ² / 2. Der zweite Term ist der Volatility Drag des gehebelten Portfolios. Das Wachstum ist am größten bei f* = (μ − r) / σ², dem Kelly-Kriterium; darüber frisst der Drag mehr, als die zusätzliche Rendite bringt.
Log-Renditen
Rechnet man mit logarithmierten Renditen ln(1 + r), ist das arithmetische Mittel der Log-Renditen genau das logarithmierte geometrische Wachstum. Die Faustformel ist dann exakt, wenn Log-Renditen normalverteilt sind: Der Erwartungswert der einfachen Rendite liegt um die halbe Varianz über dem der Log-Rendite. Samuelson (1971) warnte allerdings davor, die Maximierung des geometrischen Mittels für jeden Anleger und jeden Horizont für optimal zu halten.
Mittelwert und Median des Endvermögens
Der Volatility Drag erklärt auch, warum Prognosen für das Endvermögen so unterschiedlich ausfallen können, je nachdem, welche Kennzahl man nennt. Das durchschnittliche Endvermögen über viele mögliche Verläufe wächst mit dem arithmetischen Mittel. Das typische Endvermögen (der Median, den die Hälfte der Verläufe übertrifft) wächst mit dem geometrischen.
Je länger der Horizont und je höher die Volatilität, desto weiter laufen Mittelwert und Median auseinander. Wer mit dem arithmetischen Mittel über Jahrzehnte hochrechnet, überschätzt deshalb, was ein typischer Anleger am Ende hat. Monte-Carlo-Simulationen zeigen das direkt: Ihr Median liegt unter dem Wert, den eine Hochrechnung mit der Durchschnittsrendite liefert.
Lognormales Modell aus dem Beispiel mit 7 % erwarteter Jahresrendite: nach 30 Jahren im Mittel 7,61-fach, im Median 5,69-fach. Mit 25 % Volatilität bleibt der Mittelwert gleich, der Median fällt weiter zurück.
Was das für Anleger bedeutet
- Prognosen lesen: Steht in einer Studie eine erwartete Rendite, ist meist das arithmetische Mittel gemeint. Für das Vermögenswachstum über Jahrzehnte zählt das geometrische, bei Aktien typischerweise ein bis zwei Prozentpunkte weniger.
- Schwankung ist nicht nur Gefühl: Bei gleicher Durchschnittsrendite wächst die ruhigere Anlage schneller. Das erklärt einen Teil der Low-Volatility-Anomalie.
- Rebalancing lohnt bei unkorrelierten Anlagen: Der Diversifikationsertrag ist am größten, wenn die Anlagen ähnlich hohe erwartete Renditen haben, stark schwanken und wenig korrelieren.
- Vorsicht mit Hebel: Hebel vervielfacht die arithmetische Rendite linear, den Drag aber quadratisch.
Ein Beispiel für den letzten Punkt: Ein Portfolio mit 15 % Volatilität und 7 % Durchschnittsrendite wächst nach der Faustformel um etwa 5,9 %. Mit doppeltem Hebel und Finanzierung zum Zins von 2 % steigt die Durchschnittsrendite auf 12 %, die Volatilität auf 30 %, das Wachstum aber nur auf etwa 12 % − 4,5 % = 7,5 %. Der Hebel bringt also gut anderthalb Prozentpunkte statt der erhofften fünf, und das bei doppelt so tiefen Rückgängen.
Grenzen der Faustformel
- Nur eine Näherung: Bei sehr großen Schwankungen, Schiefe und Fat Tails weicht das tatsächliche geometrische Mittel von der Formel ab.
- Diversifikationsertrag ist kein Gratisgewinn: Er setzt voraus, dass die erwarteten Renditen der Anlagen ähnlich sind. Mischt man eine renditestarke mit einer renditeschwachen Anlage, kann das Portfolio trotzdem langsamer wachsen als die stärkere allein.
- Kosten: Häufiges Rebalancing verursacht Handelskosten und Steuern, die den Ertrag schmälern.
So rechnet Portfolio Lab
Im Backtest ist die CAGR das geometrische Mittel: das Endvermögen ohne Zu- und Abflüsse, als gleichbleibende Jahresrendite über die abgedeckten Jahre. Die Volatilität ist die Standardabweichung der Perioden-Renditen, mit √12 oder √252 hochgerechnet. Die Monte-Carlo-Simulation zeigt die historische Durchschnittsrendite als arithmetisches Mittel (Monatsmittel × 12); auch eigene Annahmen für die Rendite sind arithmetisch gemeint. Mit 7 % Rendite und 15 % Volatilität wachsen die simulierten Pfade deshalb im Median nur um rund 6 % pro Jahr, also knapp einen Prozentpunkt weniger, wie die Faustformel 7 % − 0,15² / 2 = 5,88 % erwarten lässt. Mehr dazu in der Methodik der Kennzahlen.
Häufige Fragen
Was ist Volatility Drag?
Der Abstand zwischen dem Durchschnitt der Renditen und dem tatsächlichen Wachstum. Er entsteht, weil Verluste auf ein größeres Vermögen wirken als die Gewinne davor, und beträgt etwa die halbe Varianz.
Was ist der Unterschied zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel?
Das arithmetische Mittel ist der einfache Durchschnitt der Renditen, das geometrische die gleichbleibende Rendite, die zum selben Endvermögen führt. Bei schwankenden Renditen ist das geometrische immer kleiner.
Welches Mittel sollte ich für die Planung nehmen?
Für das Vermögenswachstum über viele Jahre das geometrische. Für Simulationen, die einzelne Jahre zufällig ziehen, das arithmetische, denn die Simulation erzeugt den Drag dann selbst.
Was ist der Diversifikationsertrag?
Das zusätzliche Wachstum eines regelmäßig ausgeglichenen Portfolios gegenüber dem gewichteten Wachstum seiner Anlagen, weil die Streuung die Volatilität und damit den Drag senkt.
Wie groß ist der Volatility Drag bei Aktien?
Bei einer Volatilität von 15 bis 20 % pro Jahr etwa 1 bis 2 Prozentpunkte. Um so viel liegt das tatsächliche Wachstum unter der durchschnittlichen Jahresrendite.
Warum verlieren gehebelte ETFs in Seitwärtsmärkten?
Weil sie den Hebel täglich zurücksetzen. Schwankungen ohne Trend erzeugen dabei einen Verlust, der mit dem Quadrat des Hebels wächst.
Literatur
- Booth, David G.; Fama, Eugene F. (1992): Diversification Returns and Asset Contributions. Financial Analysts Journal 48 (3), S. 26–32. doi:10.2469/faj.v48.n3.26
- Fernholz, Robert; Shay, Brian (1982): Stochastic Portfolio Theory and Stock Market Equilibrium. The Journal of Finance 37 (2), S. 615–624. doi:10.1111/j.1540-6261.1982.tb03584.x
- Samuelson, Paul A. (1971): The “Fallacy” of Maximizing the Geometric Mean in Long Sequences of Investing or Gambling. Proceedings of the National Academy of Sciences 68 (10), S. 2493–2496. doi:10.1073/pnas.68.10.2493
- Willenbrock, Scott (2011): Diversification Return, Portfolio Rebalancing, and the Commodity Return Puzzle. Financial Analysts Journal 67 (4), S. 42–49. doi:10.2469/faj.v67.n4.1
Dieser Artikel erklärt eine Methode; er ist keine Anlage- oder Steuerberatung. Zahlenbeispiele sind vereinfacht und gerundet. Alle Begriffe im Glossar.