Bootstrap: Zukunftsszenarien aus der eigenen Historie

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Der Bootstrap ist ein Verfahren, um aus einer einzigen beobachteten Historie viele mögliche Verläufe zu erzeugen: Man zieht vergangene Renditen zufällig und mit Zurücklegen und setzt sie zu neuen Pfaden zusammen. So bleibt die echte Verteilung der Renditen mit ihren Fat Tails erhalten, ohne dass man eine Normalverteilung annehmen muss. Der Block-Bootstrap zieht ganze Abschnitte und bewahrt damit auch Zusammenhänge über die Zeit.

Die Idee: Ziehen mit Zurücklegen

Der Name stammt von der Redewendung, sich an den eigenen Stiefelschlaufen (bootstraps) aus dem Sumpf zu ziehen: Das Verfahren gewinnt Aussagen über die Unsicherheit aus den Daten selbst. Efron (1979) hat es als allgemeine Methode eingeführt, um die Verteilung eines Schätzers zu bestimmen, ohne sie mathematisch herzuleiten.

Für Anleger ist der Bootstrap vor allem in der Monte-Carlo-Simulation wichtig. Statt Monatsrenditen aus einer angenommenen Normalverteilung zu würfeln, nimmt man echte Monatsrenditen eines Portfolios und zieht sie in zufälliger Reihenfolge erneut. Jeder simulierte Monat ist dann ein Monat, den es so wirklich gegeben hat, auch ein Crash-Monat wie Oktober 2008.

Einfacher Bootstrap Schritt für Schritt

Angenommen, ein Portfolio hatte sechs Monatsrenditen: 3 %, −2 %, 1 %, 4 %, −5 % und 2 %. Zusammen ergeben sie 2,74 % in sechs Monaten, im Mittel 0,50 % je Monat. Für einen neuen Pfad zieht man sechsmal eine Monatsnummer zwischen 1 und 6. Jede Nummer darf mehrfach vorkommen.

Mit 2.000 oder 10.000 solcher Pfade über 30 Jahre entsteht eine Verteilung möglicher Endvermögen. Ihre Perzentile zeigen, was im ungünstigen und im günstigen Fall herauskommen könnte. Der Bootstrap bewahrt dabei die Form der Verteilung: Schiefe und Fat Tails der echten Renditen bleiben erhalten, anders als bei einer Normalverteilung.

Block-Bootstrap: Zusammenhänge über die Zeit

Der einfache Bootstrap behandelt jeden Monat als unabhängig. Echte Renditen sind das nicht ganz: Ruhige und unruhige Phasen wechseln sich ab (Volatilitäts-Clustering), Crashs ziehen sich oft über mehrere Monate. Cont (2001) zählt dieses Clustering zu den stilisierten Fakten von Finanzrenditen. Ein Bootstrap, der Monate einzeln mischt, zerreißt solche Phasen: Lange Abwärtsstrecken wie 2000 bis 2002 kommen in der Simulation seltener vor als in Wirklichkeit.

Der Block-Bootstrap nach Kunsch (1989) zieht deshalb ganze Blöcke aufeinanderfolgender Beobachtungen. Innerhalb eines Blocks bleibt die Abfolge erhalten; nur die Blöcke werden neu gemischt. Damit das Verfahren in der Theorie funktioniert, muss die Blocklänge mit der Datenmenge wachsen, aber langsamer als diese.

Dieses Weiterzählen über das Ende hinaus heißt zirkulärer Block-Bootstrap. Ohne ihn kämen Monate am Anfang und Ende der Historie seltener vor als Monate in der Mitte, weil weniger Blöcke sie enthalten.

Für Fortgeschrittene: der stationäre Bootstrap

Feste Blöcke haben einen Schönheitsfehler: Der erzeugte Pfad ist an den Blockgrenzen „gebrochen“, und seine statistischen Eigenschaften hängen davon ab, an welcher Stelle eines Blocks man sich befindet. Politis und Romano (1994) haben deshalb den stationären Bootstrap vorgeschlagen: Die Blocklänge ist selbst zufällig, geometrisch verteilt. Nach jedem Monat wird mit der Wahrscheinlichkeit p ein neuer Block an zufälliger Stelle begonnen, sonst geht es mit dem nächsten Monat weiter.

Mit p = 1/12 sind die Blöcke im Mittel zwölf Monate lang; mit 12,4 % Wahrscheinlichkeit ist ein Block länger als 24 Monate. Der so erzeugte Pfad ist stationär, und die Ergebnisse reagieren weniger empfindlich auf die genaue Wahl der Blocklänge als beim festen Block.

Mehrere Anlagen gleichzeitig

Simuliert man mehrere Anlagen oder Portfolios, zieht man für alle dieselben Monate. So bleiben die Korrelationen zwischen ihnen erhalten, auch in Krisenmonaten, in denen fast alles gleichzeitig fällt. Würde man je Anlage eigene Monate ziehen, verschwänden die Zusammenhänge, und die Simulation würde die Diversifikation überschätzen.

Bootstrap für Kennzahlen

Der Bootstrap eignet sich auch, um die Unsicherheit einer Kennzahl abzuschätzen: Man zieht viele Stichproben aus der Historie, berechnet für jede zum Beispiel die Sharpe Ratio und liest aus deren Streuung einen Bereich ab. Efron und Tibshirani (1993) beschreiben die Verfahren für solche Konfidenzintervalle ausführlich.

Ergebnisse richtig lesen

Eine Bootstrap-Simulation liefert keine Prognose, sondern eine Bandbreite. Üblich sind Perzentile: Das 10-%-Perzentil des Endvermögens ist der Wert, den neun von zehn Pfaden übertreffen; der Median ist der mittlere Pfad. Bei Entnahmeplänen zählt zusätzlich die Erfolgsquote, also der Anteil der Pfade, in denen das Geld bis zum Ende reicht.

Zwei Feinheiten werden oft übersehen. Erstens verändert die Reihenfolge der Renditen nichts am Endvermögen, solange weder Geld hinzukommt noch entnommen wird: Ein Produkt bleibt gleich, egal wie man seine Faktoren ordnet. Die Streuung der Pfade entsteht dann nur dadurch, dass manche Monate mehrfach und andere gar nicht gezogen werden. Zweitens wird die Reihenfolge entscheidend, sobald Ein- oder Auszahlungen fließen: Ein Crash kurz nach Beginn der Entnahmen wirkt viel schwerer als derselbe Crash am Ende. Genau dieses Sequenzrisiko macht die Simulation sichtbar.

Für die Zahl der Pfade gilt: Mehr Pfade machen die Perzentile genauer, ändern aber nichts an den Annahmen. Bei 2.000 Pfaden liegt der Zufallsfehler (Standardfehler) einer Erfolgsquote um 90 % unter einem Prozentpunkt. Das genügt, um Pläne zu vergleichen. Die größere Unsicherheit steckt in der gewählten Historie.

Bootstrap oder Normalverteilung?

Kein Verfahren erzeugt die Zukunft. Der Bootstrap wiederholt die Vergangenheit in neuer Reihenfolge: Ein Monat, der schlechter ist als der schlechteste der Historie, kommt nie vor, und eine Historie aus einer außergewöhnlich guten Phase führt zu optimistischen Ergebnissen. Parametrische Verfahren erlauben dagegen bewusst vorsichtigere Annahmen. Sinnvoll ist oft, beide nebeneinander zu rechnen.

Grenzen und typische Fehler

• Kurze Historie: Aus fünf Jahren Monatsdaten gibt es nur 60 verschiedene Monate. Die Simulation kann nur variieren, was diese Monate enthalten.
• Vergangene Rendite als Zukunft: Der Bootstrap übernimmt die durchschnittliche Rendite der Historie. War die Historie ein Boom (etwa Aktien 2010 bis 2021), wird die Zukunft zu rosig gemalt.
• Blocklänge: Zu kurze Blöcke verlieren Zusammenhänge, zu lange Blöcke wiederholen ganze Jahre fast unverändert und verengen die Bandbreite.
• Strukturbrüche: Zinsniveaus, Inflation und Bewertungen ändern sich. Eine Historie aus fallenden Zinsen sagt wenig über Anleihen bei steigenden Zinsen.

So rechnet Portfolio Lab

Die Monte-Carlo-Simulation bietet vier Verfahren: „Historisch (Bootstrap)“ zieht Monatsrenditen des Portfolios einzeln mit Zurücklegen (voreingestellt), „Historisch (Block-Bootstrap, 12 Monate)“ zieht Blöcke von zwölf aufeinanderfolgenden Monaten mit zufälligem Startmonat und zählt über das Ende der Historie zum Anfang weiter. Dazu kommen die Normalverteilung und eine Student-t-Verteilung mit fünf Freiheitsgraden, die auf dieselbe Volatilität skaliert ist. Einen stationären Bootstrap mit zufälliger Blocklänge gibt es nicht.

Finanzziele und ALM nutzen voreingestellt den Block-Bootstrap und ziehen für alle Portfolios dieselben Monate bzw. Blöcke, damit der Zusammenhang erhalten bleibt. Nötig sind mindestens zwölf Monate Historie. Der Zufallsgenerator startet mit einem festen Startwert (Seed), sodass dieselbe Eingabe immer dasselbe Ergebnis liefert. Einzelheiten in der Methodik der Monte-Carlo-Simulation.

Dieser Artikel erklärt eine Methode; er ist keine Anlage- oder Steuerberatung. Zahlenbeispiele sind vereinfacht und gerundet. Alle Begriffe im Glossar.