Monte-Carlo-Simulation: wie sicher ist dein Plan?

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Eine Monte-Carlo-Simulation beantwortet Fragen, die ein einzelner Backtest nicht beantworten kann: Wie wahrscheinlich reicht mein Geld 30 Jahre? Mit welcher Spanne muss ich rechnen? Statt eines Verlaufs werden tausende mögliche Renditefolgen zufällig erzeugt und ausgewertet. Das Ergebnis ist keine Prognose, sondern eine Landkarte der Möglichkeiten unter klar benannten Annahmen.

So funktioniert die Simulation

1. Renditen festlegen: aus einer Verteilung (Mittelwert und Volatilität) oder durch Ziehen historischer Monate (Bootstrap).
2. Für jeden Pfad Monat für Monat oder Jahr für Jahr Rendite, Einzahlungen und Entnahmen anwenden.
3. Viele Pfade rechnen (tausende) und auswerten: Erfolgsquote, Median, Perzentile, Zeitpunkt des Aufbrauchens.

Der Name stammt vom Spielcasino in Monaco: Wie beim Roulette entscheidet der Zufall über jeden einzelnen Pfad, aber über viele Pfade ergibt sich ein verlässliches Bild der Verteilung. In der Finanzwirtschaft hat Boyle (1977) die Methode zuerst eingesetzt, um Optionen zu bewerten; heute ist sie das Standardwerkzeug für Altersvorsorge und Stiftungen. Ein umfassendes Lehrbuch zu Zufallszahlen, Varianzreduktion und Fehlerabschätzung ist Glasserman (2003).

Beispiel: 30 Jahre Entnahme

Das Beispiel rechnet der Einfachheit halber mit Jahresschritten. Das Median-Endvermögen ist positiv, trotzdem scheitert mehr als ein Drittel der Pfade. Genau diese Spanne ist der Erkenntnisgewinn: Ein Plan mit „im Schnitt reicht es“ kann in vielen Zukünften schiefgehen, vor allem bei schlechten ersten Jahren (Sequenzrisiko).

Ergebnisse lesen

• Erfolgsquote: Anteil der Pfade, in denen das Geld bis zum Ende reicht. 80–90 % gelten oft als solide, 100 % ist meist zu vorsichtig.
• Perzentile: Das 10-%-Perzentil zeigt einen schlechten, aber nicht extremen Verlauf, das 90-%-Perzentil einen guten. Der Median (50 %) ist der typische Pfad, nicht der Durchschnitt. Bei schiefen Verteilungen liegt der Durchschnitt deutlich darüber.
• Fächer: Die Verteilung über die Zeit zeigt, wann es eng wird.
• Nominal und real: Ein Endvermögen von 200.000 € in 30 Jahren ist bei 2 % Inflation nur gut 110.000 € in heutiger Kaufkraft. Für Pläne zählt die reale Sicht.
• Zeitpunkt des Scheiterns: Ob das Geld mit 84 oder mit 94 ausgeht, macht einen großen Unterschied. Die Verteilung der Jahre bis zum Aufbrauchen sagt mehr als eine einzelne Quote.

Welche Renditen? Vier Methoden

Der Bootstrap geht auf Efron (1979) zurück: Man tut so, als wären die beobachteten Daten die ganze Verteilung, und zieht daraus immer wieder neu. Für Zeitreihen ist das gewöhnliche Ziehen einzelner Monate problematisch, weil es Phasen wie lange Bärenmärkte zerstückelt. Kunsch (1989) schlug deshalb vor, Blöcke aufeinanderfolgender Beobachtungen zu ziehen; Politis und Romano (1994) machten die Blocklänge zufällig (stationärer Bootstrap). Mehr dazu im Artikel Bootstrap.

Dass extreme Renditen häufiger sind, als die Normalverteilung erlaubt (Fat Tails), zeigte schon Mandelbrot (1963) an Rohstoffpreisen. Eine Simulation mit Normalverteilung unterschätzt deshalb die Wahrscheinlichkeit großer Verluste. Siehe Schiefe und Kurtosis.

Für Fortgeschrittene: Genauigkeit und Alternativen

Wie viele Pfade? Die Erfolgsquote ist selbst ein Schätzwert. Ihr Standardfehler beträgt √(p × (1 − p) / N). Bei einer Erfolgsquote von 80 % liegt der 95-%-Bereich mit 2.000 Pfaden bei ±1,8 Prozentpunkten, mit 10.000 Pfaden bei ±0,8 Prozentpunkten. Mehr Pfade machen das Ergebnis aber nur präziser, nicht richtiger. Der viel größere Fehler steckt in den Annahmen über Rendite und Volatilität.

Parameterunsicherheit: Eine erwartete Rendite von 5 % ist selbst nur eine Schätzung. Wer sie zufällig variiert (etwa je Pfad eine andere Rendite aus einem Bereich zieht), erhält breitere Fächer und ehrlichere Erfolgsquoten.

Analytische Abkürzung: Milevsky und Robinson (2000) berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass ein Vermögen mit festen Entnahmen aufgebraucht wird, mit einer Näherung über die Lognormalverteilung, ganz ohne Simulation. Das eignet sich für schnelle Überschläge und zum Prüfen, ob eine Simulation plausible Werte liefert.

Gemeinsame Pfade: Wer mehrere Portfolios vergleicht, sollte sie mit denselben Zufallsmonaten simulieren. Dann sind Unterschiede in der Erfolgsquote echte Unterschiede der Portfolios und kein Zufall der Ziehung.

Eingaben sinnvoll wählen

1. Zeitraum: Plane nicht bis zur durchschnittlichen Lebenserwartung, sondern darüber hinaus. Wer mit 65 in Rente geht, sollte 30 bis 35 Jahre rechnen. Die Hälfte der Menschen lebt länger als der Durchschnitt.
2. Entnahme in heutiger Kaufkraft: Gib die Ausgaben an, die du heute brauchst, und lass sie mit der Inflation steigen. Feste nominale Beträge verlieren über 30 Jahre fast die Hälfte ihrer Kaufkraft.
3. Renten und andere Einkünfte abziehen: Simuliert wird nur, was aus dem Depot kommen muss. Eine gesetzliche Rente senkt die nötige Entnahme und damit das Risiko erheblich.
4. Kosten nicht vergessen: Fondskosten, Depotgebühren und Steuern auf Entnahmen mindern die Rendite. Eine um einen halben Prozentpunkt niedrigere Rendite verändert die Erfolgsquote über 30 Jahre deutlich.
5. Mehrere Szenarien: Rechne die Simulation mit vorsichtigen und mit historischen Annahmen. Liegen beide Erfolgsquoten über deinem Ziel, ist der Plan robust; liegen sie weit auseinander, hängt er stark an den Annahmen.

Grenzen

Die Simulation ist nur so gut wie ihre Annahmen. Normalverteilte Renditen unterschätzen Krisen; ein Bootstrap aus historischen Monaten bildet sie besser ab, wiederholt aber die Vergangenheit mit ihren Zinsen, Bewertungen und Inflationsphasen. Rendite und Volatilität sollten eher vorsichtig gewählt werden, etwa mit Blick auf heutige Bewertungen. Und Menschen passen sich an: Wer in schlechten Jahren weniger entnimmt, hat eine viel höhere Erfolgsquote, als eine starre Regel zeigt (siehe Entnahmerate).

Eine Erfolgsquote von 85 % heißt nicht, dass du mit 15 % Wahrscheinlichkeit pleite bist. Sie heißt: Wenn die Zukunft wie die Annahmen ist und du nie reagierst, reicht das Geld in 15 von 100 Pfaden nicht bis zum letzten Jahr.

So rechnet Portfolio Lab

Monte Carlo simuliert in Monatsschritten mit den historischen Monatsrenditen deines Portfolios. Vier Methoden stehen zur Wahl: Bootstrap einzelner Monate, Block-Bootstrap mit 12-Monats-Blöcken, Normalverteilung und Student-t mit 5 Freiheitsgraden (auf dieselbe Volatilität skaliert); bei den parametrischen Methoden kannst du eigene Werte für Rendite und Volatilität p. a. eintragen. Du wählst 500 bis 10.000 Pfade (Standard 2.000) und 1 bis 60 Jahre. Die monatliche Ein- oder Auszahlung gilt in heutiger Kaufkraft und steigt auf Wunsch mit der Inflation; ein Pfad gilt als erfolgreich, wenn am Ende noch Vermögen übrig ist. Die Zufallszahlen sind fest initialisiert, dieselbe Eingabe liefert also dasselbe Ergebnis. Angezeigt werden die Perzentile 10, 25, 50, 75 und 90 nominal und real. Finanzziele und ALM nutzen dieselbe Simulation. Details in der Methodik der Monte-Carlo-Simulation.

Dieser Artikel erklärt eine Methode; er ist keine Anlage- oder Steuerberatung. Zahlenbeispiele sind vereinfacht und gerundet. Alle Begriffe im Glossar.