Schiefe und Kurtosis: Warum Börsencrashs häufiger sind, als die Normalverteilung sagt
Viele Kennzahlen der Geldanlage wie Volatilität, Sharpe Ratio oder der einfache Value at Risk tun so, als seien Renditen normalverteilt. Sind sie nicht. Schiefe und Kurtosis messen, wie stark die Verteilung davon abweicht: Die Schiefe zeigt, ob große Ausschläge eher nach unten oder nach oben gehen, die Kurtosis, wie oft extreme Ausschläge überhaupt vorkommen. Für Aktien heißt das in der Regel: Crashs sind viel häufiger, als die Glockenkurve vorhersagt.
Die vier Momente einer Verteilung
Eine Renditeverteilung lässt sich mit vier Kennzahlen grob beschreiben: Der Mittelwert zeigt die Lage, die Standardabweichung die Breite. Die dritte Kennzahl, die Schiefe (Skewness), misst die Asymmetrie; die vierte, die Kurtosis (Wölbung), misst, wie viel Gewicht in den Rändern liegt. Bei einer Normalverteilung ist die Schiefe 0 und die Kurtosis 3. Deshalb gibt man meist die Exzess-Kurtosis an, also Kurtosis minus 3.
Schiefe = E[(r − μ)³] / σ³
Exzess-Kurtosis = E[(r − μ)⁴] / σ⁴ − 3- μ, σ
- Mittelwert und Standardabweichung der Renditen
- Schiefe < 0
- lange linke Seite: seltene, große Verluste
- Exzess-Kurtosis > 0
- Fat Tails: extreme Werte häufiger als bei der Normalverteilung
Schematisch, alle Kurven mit gleichem Mittelwert und gleicher Volatilität. Die Lupe zeigt den linken Rand stark überhöht. Im normalen Maßstab sind die Fat Tails kaum zu sehen.
| Muster | Schiefe | Exzess-Kurtosis | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Normalverteilung | 0 | 0 | theoretischer Bezugspunkt |
| Aktienindex, Tagesrenditen | meist negativ | deutlich positiv | seltene Crashtage |
| Verkauf von Absicherung (Put-Write) | stark negativ | hoch | stetige Prämien, seltene große Verluste |
| Trendfolge, Lotterie-Aktien | eher positiv | positiv | seltene große Gewinne |
Beide Kurven haben dieselbe Volatilität, die Student-t-Verteilung mit fünf Freiheitsgraden ist dafür auf Varianz 1 skaliert. Sie ist in der Mitte spitzer, an den Flanken schlanker und hat mehr Gewicht in den Rändern. Diese Fat Tails sind in diesem Maßstab kaum zu sehen, das Diagramm im Abschnitt über Crashs zeigt sie.
Rechenbeispiel: ein Crashmonat verändert alles
Bei kleinen Stichproben verwendet man korrigierte Schätzer, die die Verzerrung durch wenige Werte ausgleichen. Für Schiefe und Kurtosis aus zwölf Werten ist die Unsicherheit trotzdem groß: Ein einziger Monat bestimmt fast das ganze Ergebnis. Aussagekräftig werden die Kennzahlen erst mit vielen Jahren Daten, und gerade dann, wenn Krisen enthalten sind. Ohne den Einbruchsmonat wäre die Reihe fast symmetrisch, mit ihm ist sie stark linksschief: Ein einzelner Monat kippt das ganze Bild.
Selbst berechnen: die korrigierten Schätzer
Die einfachen Formeln oben (mit Mittelwerten über die Stichprobe) unterschätzen Schiefe und Kurtosis bei wenigen Daten. Statistikprogramme und Tabellenkalkulationen verwenden deshalb korrigierte Schätzer. Für n Renditen mit den Stichprobenmomenten g₁ (Schiefe) und g₂ (Exzess-Kurtosis) gilt:
G₁ = g₁ × √(n × (n − 1)) / (n − 2)
G₂ = ((n + 1) × g₂ + 6) × (n − 1) / ((n − 2) × (n − 3))- g₁
- Mittel der dritten Potenzen der Abweichungen / (Mittel der Quadrate)^1,5
- g₂
- Mittel der vierten Potenzen / (Mittel der Quadrate)² − 3
- n
- Anzahl der Renditen
Im Beispiel oben ergeben die einfachen Momente eine Schiefe von −2,67 und eine Exzess-Kurtosis von 5,80; korrigiert sind es −3,07 und 9,95. In Tabellenkalkulationen liefern die Funktionen SCHIEFE und KURT genau diese korrigierten Werte. Wer Kennzahlen aus verschiedenen Programmen vergleicht, sollte prüfen, welche Variante verwendet wird. Manche geben die Kurtosis ohne Abzug von 3 an.
Die Standardfehler sind groß: Bei normalverteilten Daten liegt der Standardfehler der Schiefe grob bei √(6 / n), der der Kurtosis bei √(24 / n). Aus 120 Monatsrenditen ergibt das etwa 0,22 für die Schiefe und 0,45 für die Kurtosis. Kleine Abweichungen von null sind also kein Beleg für eine schiefe Verteilung. Der Jarque-Bera-Test fasst beides zu einem Test auf Normalverteilung zusammen.
Wie selten sind Crashs wirklich?
Die Normalverteilung macht extreme Tage extrem unwahrscheinlich. Ein Rückgang um fünf Standardabweichungen an einem Tag sollte praktisch nie vorkommen. Nimmt man stattdessen eine Verteilung mit Fat Tails, etwa eine Student-t-Verteilung mit fünf Freiheitsgraden (auf dieselbe Volatilität skaliert), sieht es ganz anders aus:
Erwartete Zahl der Handelstage in 100 Jahren (252 je Jahr) mit einem Tagesverlust von mindestens so vielen Standardabweichungen, gerechnet wie im Beispiel oben. Bei 5 Standardabweichungen sind es mit Student-t rund 17 Tage, mit der Normalverteilung praktisch keiner.
Die Erfahrung der Märkte liegt näher an der zweiten Zahl. Schon Mandelbrot (1963) schlug vor, die Normalverteilung für Preisänderungen durch eine Familie von Verteilungen mit besonders ausgeprägten Fat Tails zu ersetzen; Fama (1965) bestätigte in seiner Dissertation über Aktienkurse, dass extreme Bewegungen viel häufiger sind als bei der Normalverteilung. Cont (2001) fasst die heute anerkannten stilisierten Fakten zusammen: Fat Tails, Volatilitäts-Clustering, kaum Autokorrelation der Renditen selbst, aber Asymmetrie. Er zeigt auch, wie diese Eigenschaften viele übliche statistische Verfahren ungültig machen. Populär gemacht hat die Folgen seltener Extremereignisse Taleb (2007).
Ein Grund für Fat Tails ist die schwankende Volatilität: Auch wenn die Renditen an jedem einzelnen Tag normalverteilt wären, aber mit mal niedriger, mal hoher Volatilität, ergäbe die Mischung Fat Tails. Modelle wie GARCH bilden genau das ab (Bollerslev 1986).
Was die Forschung zeigt: Schiefe hat einen Preis
Anleger mögen positive Schiefe (die kleine Chance auf einen großen Gewinn) und meiden negative (das kleine Risiko eines großen Verlusts). Kraus und Litzenberger (1976) erweiterten das CAPM deshalb um die Schiefe. Harvey und Siddique (2000) haben das empirisch getestet: Bedingte, systematische Schiefe hilft, die Unterschiede der erwarteten Renditen zwischen Anlagen zu erklären, auch neben den Faktoren für Größe und Bewertung, und ist mit einer Prämie von durchschnittlich 3,60 % pro Jahr verbunden.
„Systematic skewness is economically important and commands a risk premium“Auch die Abhängigkeit zwischen Märkten ist asymmetrisch: Longin und Solnik (2001) finden, dass die Korrelation internationaler Aktienmärkte in Bärenmärkten steigt, in Bullenmärkten aber nicht. Die Streuung hilft also gerade dann weniger, wenn man sie am meisten braucht. Mehr dazu im Artikel Korrelation und Diversifikation.
Für Fortgeschrittene: Value at Risk mit Schiefe und Kurtosis
Der parametrische Value at Risk nimmt das Quantil der Normalverteilung, bei 95 % also z = −1,645. Die Entwicklung von Cornish und Fisher (1938) korrigiert dieses Quantil über Schiefe S und Exzess-Kurtosis K. Favre und Galeano (2002) haben daraus den Modified Value at Risk gemacht und für Hedgefonds und andere nicht normalverteilte Anlagen optimiert.
z_CF = z + (z² − 1) × S / 6 + (z³ − 3z) × K / 24 − (2z³ − 5z) × S² / 36
VaR = −(μ + z_CF × σ)- z
- Quantil der Normalverteilung (−1,645 für 95 %)
- S, K
- Schiefe und Exzess-Kurtosis der Renditen
Die Korrektur ist eine Näherung und für sehr große Schiefe oder Kurtosis unzuverlässig; die Quantile können dann sogar in der falschen Reihenfolge liegen. Alternativen sind historische Simulation (das empirische Quantil), Verteilungen mit Fat Tails wie die Student-t-Verteilung oder die Extremwerttheorie, die nur die Ränder modelliert. Der Expected Shortfall als Mittel der Verluste jenseits des VaR reagiert zudem stärker auf Fat Tails als der VaR selbst.
Was das für Anleger bedeutet
- Volatilität unterschätzt Crashrisiko: Zwei Portfolios mit gleicher Volatilität können sehr verschiedene Verlustrisiken haben. Schau zusätzlich auf Maximum Drawdown und schlechteste Monate.
- Hohe Sharpe Ratio mit negativer Schiefe ist verdächtig: Strategien, die Versicherung verkaufen, sehen in ruhigen Jahren hervorragend aus.
- Simulationen mit Fat Tails: Für die Ruhestandsplanung ist eine Monte-Carlo-Simulation mit Bootstrap aus echten Renditen oder mit Student-t-Verteilung vorsichtiger als eine mit Normalverteilung.
- Lange Datenreihen: Schiefe und Kurtosis aus wenigen ruhigen Jahren täuschen. Krisen müssen in den Daten enthalten sein.
Bei Monatsrenditen sind Schiefe und Kurtosis meist schwächer ausgeprägt als bei Tagesrenditen, weil sich Tagesschwankungen teilweise ausgleichen. Über Jahre bleiben aber die großen Krisen als Ausreißer in den Monats- und Jahresrenditen sichtbar.
So rechnet Portfolio Lab
Im Backtest stehen bei den Kennzahlen die Schiefe und die Kurtosis (Exzess) der Periodenrenditen, beide als korrigierte Stichprobenschätzer. Daneben stehen der historische Value at Risk 95 % (das 5-%-Quantil der Periodenrenditen) und der CVaR 95 % (der Durchschnitt der Renditen, die so schlecht oder schlechter waren). Die Monte-Carlo-Simulation bietet neben Bootstrap und Normalverteilung eine Student-t-Verteilung mit fünf Freiheitsgraden, auf die gemessene Volatilität skaliert. Details stehen in der Methodik der Kennzahlen.
Häufige Fragen
Was bedeutet eine negative Schiefe?
Die Verteilung hat einen langen linken Rand: Kleine Gewinne sind häufig, große Verluste selten, aber heftig. Aktienindizes und Strategien, die Absicherung verkaufen, haben oft negative Schiefe.
Was ist eine hohe Kurtosis?
Eine Exzess-Kurtosis über null heißt: Extreme Renditen, nach oben wie unten, kommen häufiger vor als bei einer Normalverteilung. Man spricht von Fat Tails.
Sind Aktienrenditen normalverteilt?
Nein. Tagesrenditen haben deutliche Fat Tails und meist eine negative Schiefe; über längere Zeiträume nähern sie sich der Normalverteilung an, ohne sie zu erreichen.
Was ist der Cornish-Fisher-VaR?
Ein Value at Risk, bei dem das Quantil der Normalverteilung über Schiefe und Kurtosis korrigiert wird. Bei negativer Schiefe und Fat Tails fällt er höher aus.
Wie viele Daten brauche ich für eine verlässliche Schiefe?
Viele: Ein einziger Ausreißer bestimmt die Schätzung. Mehrere Jahrzehnte Monatsdaten oder viele Jahre Tagesdaten mit Krisen sind sinnvoll.
Haben auch Anleihen Fat Tails?
Ja, besonders Unternehmensanleihen mit niedriger Bonität: Lange stetige Zinserträge, selten aber große Verluste bei Zahlungsausfällen. Das ergibt negative Schiefe und hohe Kurtosis.
Warum zeigt meine Tabellenkalkulation eine andere Kurtosis?
Manche Programme geben die Kurtosis ohne Abzug von 3 an oder verwenden die einfachen statt der korrigierten Momente. Portfolio Lab zeigt die korrigierte Exzess-Kurtosis wie die Funktion KURT.
Wie berücksichtige ich Fat Tails in meiner Planung?
Mit Simulationen, die echte historische Renditen ziehen (Bootstrap) oder Verteilungen mit Fat Tails nutzen, und mit Kennzahlen wie Maximum Drawdown und Expected Shortfall statt nur der Volatilität. Wichtig ist auch, den eigenen Plan auf einen Einbruch von 40 bis 50 % zu prüfen.
Literatur
- Bollerslev, Tim (1986): Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity. Journal of Econometrics 31 (3), S. 307–327. doi:10.1016/0304-4076(86)90063-1
- Cont, R. (2001): Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues. Quantitative Finance 1 (2), S. 223–236. doi:10.1080/713665670
- Cornish, E. A.; Fisher, R. A. (1938): Moments and Cumulants in the Specification of Distributions. Revue de l'Institut International de Statistique / Review of the International Statistical Institute 5 (4). doi:10.2307/1400905
- Fama, Eugene F. (1965): The Behavior of Stock-Market Prices. The Journal of Business 38 (1). doi:10.1086/294743
- Favre, Laurent; Galeano, José-Antonio (2002): Mean-Modified Value-at-Risk Optimization with Hedge Funds. The Journal of Alternative Investments 5 (2), S. 21–25. doi:10.3905/jai.2002.319052
- Harvey, Campbell R.; Siddique, Akhtar (2000): Conditional Skewness in Asset Pricing Tests. The Journal of Finance 55 (3), S. 1263–1295. doi:10.1111/0022-1082.00247
- Kraus, Alan; Litzenberger, Robert H. (1976): Skewness Preference and the Valuation of Risk Assets. The Journal of Finance 31 (4), S. 1085–1100. doi:10.1111/j.1540-6261.1976.tb01961.x
- Longin, François; Solnik, Bruno (2001): Extreme Correlation of International Equity Markets. The Journal of Finance 56 (2), S. 649–676. doi:10.1111/0022-1082.00340
- Mandelbrot, Benoit (1963): The Variation of Certain Speculative Prices. The Journal of Business 36 (4). doi:10.1086/294632
- Taleb, Nassim Nicholas (2007): The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable. Random House.
Dieser Artikel erklärt eine Methode; er ist keine Anlage- oder Steuerberatung. Zahlenbeispiele sind vereinfacht und gerundet. Alle Begriffe im Glossar.