Optionsrechner: so bewertet Portfolio Lab Optionen

Fortgeschritten18 Min. Lesezeit · aktualisiert am 24. Oktober 2026 · 15 Quellen

Der Optionsrechner auf der Seite Optionen bewertet Standard- und exotische Optionen mit mehreren Modellen nebeneinander, liefert alle Greeks und die implizite Volatilität, rechnet Strategien mit bis zu acht Legs und passt den Volatilitäts-Smile mit SVI an Optionsketten an. Diese Methodik beschreibt jedes Verfahren so, wie der Code rechnet: mit Formeln, Voreinstellungen, Konstanten und Grenzen. Die Formeln folgen der Sammlung von Haug (2007).

Eingaben und Einheiten

Zins r, Dividendenrendite q (bei Währungen der ausländische Zins r_f) und Volatilität σ sind Jahreswerte als stetige Raten. Die Laufzeit gibst du in Kalendertagen ein; gerechnet wird mit T = Tage / 365. Erlaubt sind 1 Tag bis 50 Jahre, Volatilitäten von 0,1 % bis 500 % sowie Zinsen und Dividendenrenditen von −20 % bis 100 %. Die Seite startet mit Kurs und Strike 100, 182 Tagen Laufzeit, 3 % Zins und 20 % Volatilität.

Black-Scholes-Merton mit Cost of Carry

Europäische Standardoptionen bewertet der Rechner geschlossen mit dem verallgemeinerten Black-Scholes-Merton-Modell. Ein Parameter, die Cost of Carry b, deckt drei Basiswerte ab: Aktien und Indizes mit stetiger Dividendenrendite nach Merton (1973), Futures nach Black (1976) und Währungen nach Garman und Kohlhagen (1983).

Der Forward ist F = S·e^(bT); beim Future ist er der Futurekurs selbst, und die Option wird nur noch mit e^(−rT) abgezinst. Bei Aktien und Währungen ändert sich b mit dem Zins, deshalb enthält Rho dort auch den Effekt auf den Forward. Beim Future bleibt b = 0, und Rho ist −T × Preis (je Prozentpunkt durch 100 geteilt).

Mit 2 % Dividendenrendite sinkt derselbe Call auf 9,2270; als Option auf einen Future (b = 0) kostet er 7,5771. Eine Währungsoption mit 2 % ausländischem Zins hat denselben Wert wie die Aktienoption mit 2 % Dividendenrendite, denn beide haben b = 3 %.

Binomialbäume

Für amerikanische und Bermuda-Optionen, für Barrieren im Baum und zur Kontrolle europäischer Preise gibt es drei rekombinierende Binomialbäume mit n Schritten der Länge Δt = T/n. Sie unterscheiden sich darin, wie Aufwärts- und Abwärtsfaktor u und d und die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit p gewählt werden:

Cox-Ross-Rubinstein ist der klassische Baum von Cox u. a. (1979). Leisen-Reimer legt die Wahrscheinlichkeiten so, dass der Baum die Werte N(d₁) und N(d₂) der Black-Scholes-Formel trifft. Dafür braucht er eine ungerade Schrittzahl. Eine gerade Eingabe erhöht der Rechner um eins. Die Funktion h ist die Inversion nach Peizer und Pratt (Methode 2): h(z) = ½ + sign(z)·½·√(1 − exp(−(z / (n + 1/3 + 0,1/(n + 1)))²·(n + 1/6))).

Laut Leisen und Reimer (1996) konvergiert dieser Baum für europäische Optionen glatt und mit Ordnung zwei, Cox-Ross-Rubinstein und andere übliche Bäume nur mit Ordnung eins. Cox-Ross-Rubinstein schwingt dabei zwischen geraden und ungeraden Schrittzahlen. Liegt p außerhalb von 0 bis 1 (sehr wenige Schritte, extreme Zinsen), bricht der Rechner mit einem Hinweis ab.

Die Tabelle zeigt den Call aus dem Standardbeispiel; geschlossen kostet er 10,4506. Für jede Eingabe zeigt die Seite diese Konvergenz als Grafik über 10 bis 300 Schritte in Zehnerschritten, mit dem geschlossenen Preis als Linie.

Amerikanische und Bermuda-Ausübung

Rückwärts durch den Baum wird an jedem Knoten der Fortführungswert e^(−rΔt)·(p·V_auf + (1 − p)·V_ab) mit dem inneren Wert verglichen; der größere zählt. Amerikanisch geschieht das an jedem Schritt, Bermuda an m gleich verteilten Terminen (Schritt round(k·n/m) für k = 1 … m − 1, dazu die Fälligkeit). Der Hauptpreis kommt aus dem Leisen-Reimer-Baum mit der eingestellten Schrittzahl (Voreinstellung 500). Cox-Ross-Rubinstein und Jarrow-Rudd stehen zum Vergleich daneben, ebenso der europäische Preis und damit die Prämie für frühe Ausübung.

Ein amerikanischer Call ohne Dividende ist so viel wert wie der europäische, im Beispiel ebenfalls 10,4506. Dass sich seine frühe Ausübung nie lohnt, zeigte schon Merton (1973).

Grenze der frühen Ausübung: Ein Leisen-Reimer-Baum mit 601 Schritten merkt sich an jedem Ausübungsschritt den kritischen Kurs, also beim Put den höchsten Knoten, an dem sofortige Ausübung mehr bringt als Halten, beim Call den niedrigsten. Im Beispiel liegt die Grenze anfangs bei rund 81, nach einem halben Jahr bei rund 83, ein Vierteljahr vor Fälligkeit bei 86 bis 87 und am letzten Schritt bei gut 98. Weil die Knoten von Schritt zu Schritt versetzt liegen, springt die Linie leicht.

Greeks aus dem Baum: Delta, Gamma und Theta lassen sich direkt aus den Knoten der ersten zwei Schritte ablesen, Theta aus dem mittleren Knoten nach zwei Schritten. Die Tabelle der Greeks rechnet für amerikanische Optionen dennoch mit zentralen Differenzen des Hauptpreises (Leisen-Reimer mit 301 Schritten), damit alle Greeks nach derselben Methode entstehen.

Barriere-Optionen

Eine Barriere-Option entsteht oder erlischt, wenn der Kurs eine Schwelle H berührt: down-and-out, down-and-in, up-and-out und up-and-in, jeweils als Call oder Put. Europäisch und stetig beobachtet rechnet der Rechner geschlossen nach den Formeln von Reiner und Rubinstein, wie Haug (2007) sie für alle acht Fälle zusammenstellt. Dazu gehört ein Rebate: Bei Out-Optionen wird er beim Berühren gezahlt, bei In-Optionen zur Fälligkeit, wenn die Barriere nie berührt wurde. Liegt der Kurs schon jenseits der Barriere, ist die In-Option eine Standardoption und die Out-Option nur noch den Rebate wert. Eine erste Formel für Down-and-out-Optionen leitete bereits Merton (1973) her.

Viele Verträge beobachten die Barriere nur zu festen Terminen, etwa täglich zum Schlusskurs. Dafür verschiebt der Rechner die Barriere nach Broadie u. a. (1997) vom Kurs weg und setzt sie in die stetige Formel ein:

Im Baum (Cox-Ross-Rubinstein) wird die Barriere an jedem Schritt geprüft; Knoten auf oder jenseits der Barriere erhalten den Rebate. Für den Kontrollbaum einer europäischen Barriere mit 50 bis 5.000 Beobachtungen nimmt der Rechner genau so viele Schritte, sonst die eingestellte Zahl. Knock-in-Optionen rechnet der Baum über die Parität In = Standard − Out; den Rebate einer In-Option setzt er dabei näherungsweise mit der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit an, die Barriere bis zur Fälligkeit nie zu berühren. Amerikanische und Bermuda-Barrieren gibt es deshalb nur als Knock-out; ihr Hauptpreis kommt aus Cox-Ross-Rubinstein, Leisen-Reimer steht daneben.

Digitale, asiatische und Lookback-Optionen

Digital: Cash-or-nothing zahlt einen festen Betrag, wenn die Option im Geld endet: Preis = Betrag × e^(−rT) × N(d₂) für den Call, N(−d₂) für den Put. Asset-or-nothing liefert den Basiswert: S × e^((b−r)T) × N(d₁) bzw. N(−d₁). Im Standardbeispiel kostet ein Digital-Call auf den Betrag 10 genau 5,3232, die Asset-Variante 63,6831.

Asiatisch mit festem Strike: Die Auszahlung hängt vom Durchschnitt über n gleich verteilte Fixings t_i = i·T/n bis zur Fälligkeit ab. Für den geometrischen Durchschnitt G gibt es eine exakte Formel, weil das Produkt lognormaler Kurse wieder lognormal ist: ln G ist normalverteilt mit Mittel ln S + (b − σ²/2)·T·(n + 1)/(2n) und Varianz σ²·T·(n + 1)(2n + 1)/(6n²). Für einen stetigen Durchschnitt gilt die Formel von Kemna und Vorst (1990) mit b_A = ½(b − σ²/6) und σ_A = σ/√3. Den arithmetischen Durchschnitt rechnet der Rechner mit Monte Carlo, das Boyle (1977) in die Optionsbewertung einführte:

• exakte Simulation der Log-Kurse an den Fixings, voreingestellt 40.000 Pfade mit festem Startwert der Zufallszahlen (dieselben Zahlen gelten auch für die Greeks),
• Antithetische Variablen: Zu jedem Zufallsvektor z wird auch −z gerechnet; der Standardfehler kommt deshalb aus den Mitteln der Paare,
• Kontrollvariable nach Kemna und Vorst (1990): der geometrische Durchschnitt auf denselben Pfaden, dessen exakter Wert bekannt ist. Der Schätzer ist Ā − β·(Ḡ − G_exakt) mit β = Kovarianz / Varianz aus der Stichprobe; das Verfahren beschreibt Glasserman (2003).

Zwei schnelle Näherungen stehen zum Vergleich daneben: die Lognormal-Näherung von Levy (1992) mit den exakten ersten zwei Momenten des diskreten Durchschnitts und die Formel von Turnbull und Wakeman (1991), die einen stetigen Durchschnitt ab heute annimmt. Die Profile über den Kurs nutzen für arithmetische Asiaten die Levy-Näherung, weil Monte Carlo dort zu langsam wäre.

Lookback (stetig beobachtet): Mit variablem Strike zahlt der Call S_T − Minimum und der Put Maximum − S_T (Goldman u. a. 1979); mit festem Strike zahlt der Call max(Maximum − K, 0) und der Put max(K − Minimum, 0) (Conze und Viswanathan 1991). Ein bisheriges Minimum oder Maximum lässt sich eingeben, etwa für eine laufende Option; 0 steht für den heutigen Kurs. Im Standardbeispiel kostet der Lookback-Call mit variablem Strike 17,2168, mit festem Strike 19,1676. Die Formeln teilen durch b; für b = 0 setzt der Code als Grenzwert b = 10⁻⁷ ein.

Greeks: geschlossen oder über Differenzen

Für europäische Standardoptionen kommen Delta, Gamma, Vega, Theta und Rho aus den geschlossenen Formeln. Alles andere entsteht über Differenzen am jeweiligen Hauptmodell: die Greeks amerikanischer und exotischer Optionen sowie Vanna, Volga, Charm, Speed und das Rho der Dividende auch bei Standardoptionen. Monte Carlo nutzt dabei für jede Verschiebung dieselben Zufallszahlen, damit sich das Rauschen weitgehend weghebt.

Theta ist eine Vorwärtsdifferenz (Wert morgen minus Wert heute), alle anderen Differenzen sind zentral.

Profile: Wert, Delta, Gamma, Vega und Theta zeigt der Rechner über Kurse von 50 % bis 150 % des heutigen Kurses (41 Punkte) für drei Zeitpunkte: heute, nach halber Restlaufzeit und eine Woche vor Fälligkeit (höchstens ein Viertel der Laufzeit). Für diese Kurven nimmt er schnellere Einstellungen (150 Baumschritte, 8.000 Pfade) und Differenzen mit denselben Verschiebungen; bei Standard- und Digital-Optionen kommt die Auszahlung bei Fälligkeit als gestrichelte Linie dazu.

Implizite Volatilität

Zu einem Marktpreis sucht der Rechner die Volatilität, bei der das gewählte Modell genau diesen Preis liefert, mit dem Brent-Verfahren auf dem Intervall von 0,1 % bis 500 % (Toleranz 10⁻¹⁰). Das funktioniert für jede Optionsart, auch für amerikanische und exotische. Liegt der Preis außerhalb dessen, was das Modell zwischen 0,1 % und 500 % Volatilität hergibt (etwa unter dem abgezinsten inneren Wert), gibt es keine Lösung, und der Rechner meldet eine Verletzung der Arbitragegrenzen.

Volatilitäts-Smile mit SVI

Statt einer flachen Volatilität kann jede Option ihre Volatilität aus einem Smile beziehen. Der Rechner nutzt die SVI-Parametrisierung (Stochastic Volatility Inspired) von Gatheral in der Rohform, wie sie Gatheral und Jacquier (2014) beschreiben: Sie modelliert die gesamte implizite Varianz w = σ²·T als Funktion der logarithmischen Moneyness k.

In der parametrischen Eingabe gibst du statt a die ATM-Volatilität vor; a folgt aus w(0) = σ_ATM²·T, also a = σ_ATM²·T − b·(−ρ·m + √(m² + s²)). Voreingestellt sind 20 % ATM-Volatilität, b = 0,1, ρ = −0,6, m = 0 und s = 0,1.

Butterfly-Arbitrage: Ein Smile ist nur zulässig, wenn die daraus folgende risikoneutrale Dichte nirgends negativ wird, sonst hätte ein Butterfly-Spread einen negativen Preis. Nach Gatheral und Jacquier (2014) ist dafür im Wesentlichen g(k) ≥ 0 nötig und hinreichend:

Der Rechner prüft g auf 301 Punkten von k = −1,5 bis 1,5 und warnt, sobald das Minimum unter null fällt. Zusätzlich prüft er, ob die Varianz überall positiv bleibt und ob die Flügel nicht zu steil sind: b·(1 + |ρ|) ≤ 4/T.

Ein Smile gilt für eine Laufzeit. Nutzen Optionen anderer Laufzeit ihn mit, nimmt der Rechner dieselbe Volatilität je Moneyness ln(K/F) mit dem Forward zur jeweiligen Laufzeit; eine Terminstruktur der Volatilität bildet er damit nicht ab.

Markt-Smile aus Optionsketten

Im Bereich „Smile und Fläche“ lädt der Rechner die Optionsketten eines US-Basiswerts mit börsengehandelten Optionen (voreingestellt SPY, ein ETF auf den S&P 500) und passt je Verfallstermin einen SVI-Smile an:

1. Verfallstermine: alle mit 5 bis 800 Tagen Restlaufzeit; sind es mehr als acht, die zwei nächsten und dann sechs gleichmäßig verteilte bis etwa zwei Jahre.
2. Kurse filtern: nur Strikes mit Geldkurs über 0 und Briefkurs nicht unter dem Geldkurs; gerechnet wird mit dem Mittelkurs.
3. Forward aus der Put-Call-Parität: Für die fünf Strikes nächst am Kurs, die Calls und Puts haben, gilt F = K + e^(rT)·(Call − Put); der Forward ist der Median dieser fünf Werte. Der Zins ist der Geldmarktzins in US-Dollar (stetig), ohne Daten 4 %. Aus Forward und Zins folgt die implizite Dividendenrendite q = r − ln(F/S)/T.
4. Implizite Volatilitäten mit Black 76 auf den Forward, nur aus dem Geld: Puts unter dem Forward, Calls ab dem Forward. Preise unter dem abgezinsten inneren Wert oder über der Obergrenze fallen weg, ebenso Volatilitäten unter 1 % oder über 300 %.
5. SVI-Anpassung: kleinste Quadrate auf die gesamte Varianz für k von −0,6 bis 0,4 (mindestens fünf Strikes), gewichtet mit 1/(1 + 2|k|), damit Strikes am Geld mehr zählen. Grenzen b ≥ 0, |ρ| < 1, s > 0; eine negative Mindestvarianz a + b·s·√(1 − ρ²) wird bestraft. Von drei Startwerten gewinnt die beste Anpassung.
6. Ergebnis: ATM-Volatilität bei k = 0, die mittlere quadratische Abweichung der angepassten von den gemessenen Volatilitäten, der Butterfly-Test, die Terminstruktur der ATM-Volatilität und eine Volatilitätsfläche über die Moneyness K/F von rund 67 % bis 135 % (k von −0,4 bis 0,3 in Schritten von 0,05).

Die Ergebnisse werden 30 Minuten zwischengespeichert. Laden lässt sich der Markt-Smile im Rechner, bei den Strategien oder im Bereich „Smile und Fläche“; danach gilt im Rechner und bei den Strategien die ganze Fläche aller Verfälle. Für eine Laufzeit T zwischen zwei Verfällen T₁ < T < T₂ wird die gesamte Varianz je Log-Moneyness linear interpoliert, w(k, T) = (1 − λ)·w₁(k) + λ·w₂(k) mit λ = (T − T₁)/(T₂ − T₁); vor dem ersten und nach dem letzten Verfall bleibt die implizite Volatilität des nächsten Verfalls je k, also w = wᵢ(k)·T/Tᵢ. Jedes Leg einer Strategie bekommt die Volatilität zu seiner eigenen Laufzeit. Beim Laden übernimmt der Rechner Kurs, Zins und die implizite Dividendenrendite des Verfalls, der der eingestellten Laufzeit am nächsten liegt; Strike, Barriere und Legs, deren Abstand zum Kurs |ln(K/S)| größer als 0,25 ist, setzt er auf den Kurs. „Mit diesem Verfall im Rechner bewerten“ setzt zusätzlich die Laufzeit des gewählten Verfalls und einen Strike nahe dem Forward. Die Butterfly-Prüfung gilt auch für den interpolierten Schnitt; ob sich die Schnitte zweier Verfälle kreuzen (Kalender-Arbitrage), prüft der Rechner nicht. Optionskurse sind oft verzögert, und illiquide Strikes haben breite Spannen zwischen Geld- und Briefkurs; Filter und Gewichte dämpfen das, beseitigen es aber nicht.

Strategien mit mehreren Legs

Eine Strategie besteht aus 1 bis 8 Legs: Calls, Puts oder dem Basiswert selbst, jeweils mit Anzahl (positiv gekauft, negativ verkauft), Strike, Laufzeit und wahlweise eigener Volatilität. Vorlagen gibt es für 13 gängige Kombinationen vom Long Call bis zum Calendar-Spread. Gerechnet wird so:

• Volatilität je Leg: die eigene, sonst aus dem Smile am Strike des Legs (k = ln(K/F) mit dem Forward zur Laufzeit des Legs), sonst die flache Volatilität.
• Einstand: Summe der Modellwerte heute (Black-Scholes mit Cost of Carry) mal Anzahl; positiv heißt zu zahlen, negativ heißt Prämie erhalten.
• Gewinn und Verlust über Kurse von 60 % bis 140 % des heutigen Kurses (241 Punkte), heute und zum ersten Verfall. Legs, die später verfallen, werden dann mit Black-Scholes zur Restlaufzeit und mit ihrer Volatilität bewertet.
• Break-even: Kurse, an denen der Gewinn zum ersten Verfall das Vorzeichen wechselt, linear zwischen den Rasterpunkten interpoliert.
• Maximaler Gewinn und Verlust: größter und kleinster Wert im Kursbereich; „offen“, wenn die Kurve am Rand noch steigt bzw. fällt und damit über den gezeigten Bereich hinaus weiterläuft.
• Greeks der Strategie: Summe der geschlossenen Greeks je Leg mal Anzahl; der Basiswert trägt Delta 1 bei.

Mit Smile ändert sich das Bild: Ein Strangle aus Put 90 und Call 110 über 91 Tage bekommt mit dem voreingestellten SVI-Smile 29,58 % Volatilität für den Put und 17,93 % für den Call statt einheitlich 20 %.

Grenzen

• Keine lokale oder stochastische Volatilität: Alle Modelle nehmen eine konstante Volatilität über die Laufzeit an. Der Smile sagt nur, welche konstante Volatilität für einen Strike gilt.
• Smile bei Exoten: Für Barrieren, Asiaten und Lookbacks gilt die Smile-Volatilität am Strike für den ganzen Pfad. Gerade Barrieren hängen aber stark von der Volatilität nahe der Barriere ab; der Preis ist dann nur ein Anhaltspunkt, und der Rechner weist darauf hin.
• Stetige Beobachtung: Die Formeln für Barrieren und Lookbacks setzen stetige Beobachtung voraus. Für Barrieren gibt es die Korrektur nach Broadie, Glasserman und Kou, für Lookbacks nicht. Bei täglicher Beobachtung überschätzen sie den Wert leicht.
• Dividenden als Rendite: Einzelne Dividendenzahlungen, die für die frühe Ausübung von Calls entscheidend sind, bildet der Rechner nur über eine stetige Dividendenrendite ab.
• Vereinfachter Markt: flache Zinsen, keine Transaktionskosten und keine Sicherheitsleistungen; Strategien bewerten spätere Legs zum ersten Verfall mit derselben Volatilität wie heute.
• Modellwerte: Die Zahlen sind faire Werte unter den Annahmen der Modelle, keine handelbaren Kurse und keine Anlageberatung.

Diese Seite beschreibt, wie Portfolio Lab rechnet; Ergebnisse aus der Vergangenheit sind keine Prognose. Alle Begriffe im Glossar.