Optionsbewertung: wie faire Optionspreise entstehen

Fortgeschritten13 Min. Lesezeit · aktualisiert am 3. September 2026 · 18 Quellen

Optionsbewertung beantwortet eine Frage, die zunächst unlösbar wirkt: Was ist das Recht wert, eine Aktie in einem Jahr zu einem festen Preis zu kaufen, wenn niemand den künftigen Kurs kennt? Die Antwort kommt nicht aus einer Prognose, sondern aus der Arbitragefreiheit: Eine Option lässt sich aus Aktie und Kredit nachbauen, und sie muss so viel kosten wie dieser Nachbau. Dieser Bericht führt von der Idee über Black-Scholes und Binomialbäume zu Greeks, Smile, Exoten und Strategien, mit nachgerechneten Beispielen.

Die Idee: Preis durch Nachbilden

Ein Call gibt dir das Recht, den Basiswert zum Ausübungspreis (Strike) K zu kaufen; bei Fälligkeit ist er max(S_T − K, 0) wert, ein Put max(K − S_T, 0). Entscheidend ist: Diese Auszahlung lässt sich mit einer passenden Menge Aktien und einem Kredit nachbilden. Gibt es einen solchen Nachbau, muss die Option genauso viel kosten. Sonst könnte man ohne Risiko Geld verdienen. Black und Scholes (1973) stellen diesen Grundsatz an den Anfang ihrer Arbeit:

Dasselbe Ergebnis liefert eine Rechnung mit risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten: Wählt man die Wahrscheinlichkeit des Anstiegs so, dass die Aktie im Mittel genau den Zins verdient, also (1,05 − 0,8) / (1,2 − 0,8) = 0,625, ist der Call der abgezinste Erwartungswert 0,625 × 20 / 1,05 = 11,90. Das heißt nicht, dass Anleger risikoneutral wären; diese Wahrscheinlichkeiten sind nur ein Rechenwerkzeug. Cox u. a. (1979) bauten daraus das Binomialmodell mit vielen kleinen Schritten.

Black-Scholes: Formel, Eingaben und Annahmen

Werden die Schritte immer kleiner, folgt der Kurs einer geometrischen Brownschen Bewegung, und aus dem Nachbau wird eine stetige Absicherung. Das Ergebnis ist die Formel von Black und Scholes (1973), die Merton (1973) unter anderem um Dividenden erweiterte:

In der Formel stecken nur fünf Eingaben, und vier davon sind beobachtbar. Die erwartete Rendite der Aktie fehlt, denn sie ist im Nachbau schon enthalten. Unbekannt ist allein die Volatilität; deshalb handeln Optionshändler im Kern Volatilität. Die Formel ruht auf Annahmen:

• Lognormale Kurse mit konstanter Volatilität und ohne Sprünge,
• stetiger, kostenloser Handel mit beliebig teilbaren Positionen und erlaubtem Leerverkauf,
• konstanter risikoloser Zins, Dividenden als stetige Rendite,
• europäische Ausübung, also nur am Verfallstag.

Für andere Basiswerte reicht ein Parameter, die Cost of Carry: Bei Futures ist sie null (Black 1976), bei Währungen gleich Inlands- minus Auslandszins (Garman und Kohlhagen 1983). Verletzte Annahmen machen die Formel nicht nutzlos; sie verschieben die Fehler in die implizite Volatilität (dazu unten mehr).

Put-Call-Parität

Ein gekaufter Call und ein verkaufter Put mit gleichem Strike und gleicher Laufzeit zahlen bei Fälligkeit zusammen immer S_T − K, genau wie ein Terminkauf. Deshalb gilt für europäische Optionen ohne jedes Modell:

Weicht die Parität am Markt deutlich ab, lohnt sich ein Arbitragegeschäft; nach Geld-Brief-Spannen, Leihgebühren und Steuern bleibt davon selten etwas übrig. Umgekehrt liest man aus Calls und Puts den Forward und damit die vom Markt erwartete Dividendenrendite ab. Für amerikanische Optionen gilt die Parität nur als Ungleichung, weil der Put früh ausgeübt werden kann.

Binomialbäume, Konvergenz und frühe Ausübung

Der Baum aus dem ersten Beispiel wird realistisch, wenn man die Laufzeit in Hunderte Schritte teilt. Im Modell von Cox u. a. (1979) steigt der Kurs je Schritt um den Faktor u = e^(σ√Δt) oder fällt um d = 1/u. Der Optionswert entsteht rückwärts von der Fälligkeit, Schritt für Schritt als abgezinster risikoneutraler Erwartungswert. Mit wachsender Schrittzahl nähert sich der Preis dem Black-Scholes-Wert von 10,4506, bei Cox-Ross-Rubinstein aber im Zickzack:

Der Fehler wechselt mit gerader und ungerader Schrittzahl das Vorzeichen, weil der Strike mal näher an einem oberen, mal an einem unteren Endknoten liegt. Leisen und Reimer (1996) legen die Knoten so, dass der Baum die Normalverteilungswerte der Black-Scholes-Formel trifft (bei ungerader Schrittzahl; für 100 rechnet der Baum mit 101). Ihre Bäume konvergieren glatt mit Ordnung zwei und erreichten in ihrem Vergleich im Mittel dieselbe Genauigkeit 1.400-mal schneller.

Der eigentliche Nutzen von Bäumen sind amerikanische Optionen, die jederzeit ausgeübt werden dürfen. An jedem Knoten wird geprüft, ob die sofortige Ausübung mehr bringt als das Halten. Für einen Call auf eine Aktie ohne Dividende lohnt sich das nie. Er ist lebendig mehr wert als ausgeübt, wie Merton (1973) zeigte. Beim Put dagegen kann es sich lohnen, den Strike früh zu kassieren und Zinsen darauf zu verdienen.

Die kritische Kursgrenze, unter der sich die Ausübung des Puts lohnt, steigt mit sinkender Restlaufzeit gegen den Strike. Bermuda-Optionen mit wenigen festen Ausübungsterminen liegen im Wert zwischen europäischer und amerikanischer Option.

Greeks und Absicherung

Die Greeks messen, wie der Optionspreis auf Änderungen der Eingaben reagiert. Für den Call aus dem Beispiel:

Delta ist zugleich die Absicherungsquote: Wer 1.000 dieser Calls verkauft hat, kauft rund 637 Aktien und ist dann gegen kleine Kursbewegungen neutral. Weil sich Delta mit dem Kurs ändert (Gamma), muss die Absicherung laufend angepasst werden. Dabei stehen sich Gamma und Theta gegenüber: Wer Optionen kauft, gewinnt bei großen Bewegungen und verliert täglich Zeitwert; wer verkauft, verdient den Zeitwert und verliert bei Sprüngen. Im Black-Scholes-Modell gleicht sich beides genau aus, wenn die tatsächliche Schwankung der eingepreisten entspricht.

Was die Theorie verspricht, zeigt die Praxis nur eingeschränkt. Laut Bakshi und Kapadia (2003) verloren delta-abgesicherte gekaufte Optionen auf den S&P 500 im Mittel Geld, und zwar umso mehr, je höher die Volatilität war. Das deutet auf eine negative Prämie für Volatilitätsrisiko hin. Coval und Shumway (2001) fanden für Straddles am Geld auf den S&P 500, die gegen Marktbewegungen neutral sind, durchschnittliche Verluste von rund 3 % pro Woche. Gekaufte Optionen sind damit eher eine Versicherung mit Prämie als eine faire Wette.

Implizite Volatilität, Smile und Skew

Setzt man den Marktpreis in die Formel ein und löst nach σ auf, erhält man die implizite Volatilität. Kostet der Call aus dem Beispiel 12 statt 10,45, preist der Markt 24,11 % Volatilität ein. Sie ist keine reine Prognose, denn sie enthält die Prämie für Absicherung (siehe VIX).

Stimmte das Black-Scholes-Modell, hätten alle Strikes einer Laufzeit dieselbe implizite Volatilität. Tatsächlich bilden sie einen Smile, bei Aktienindizes vor allem einen Skew: Puts weit aus dem Geld sind deutlich teurer. Der Markt rechnet mit stärkeren Fat Tails auf der Verlustseite, als die Lognormalverteilung erlaubt (siehe Schiefe und Kurtosis). Rubinstein (1994) zeigte, wie man aus den Preisen vieler Strikes eine risikoneutrale Verteilung und einen dazu passenden Baum gewinnt. Doch Modelle, in denen die Volatilität eine feste Funktion von Kurs und Zeit ist, prognostizierten und sicherten laut Dumas u. a. (1998) nicht besser als ein einfaches Glätten der impliziten Volatilitäten über Strikes und Laufzeiten.

In der Praxis beschreibt man den Smile deshalb mit einer glatten Kurve, oft mit SVI: einer Formel mit fünf Parametern für die gesamte Varianz σ²T über die logarithmische Moneyness ln(K/F). Gatheral und Jacquier (2014) zeigen, wie man SVI ohne statische Arbitrage anpasst, also so, dass weder ein Butterfly- noch ein Kalender-Spread einen negativen Preis bekommt. Einen Überblick über die ganze Volatilitätsfläche gibt Gatheral (2006).

Exotische Optionen im Überblick

Exotische Optionen ändern die Auszahlung oder machen sie vom Kursverlauf abhängig. Für das Standardbeispiel (Kurs und Strike 100, ein Jahr, 5 % Zins, 20 % Volatilität, Standard-Call 10,45) ergeben sich:

Out- und In-Barriere ergeben vor dem Runden genau den Standard-Call. Barrieren machen Optionen billiger, weil sie in manchen Pfaden verfallen. Die Formeln setzen meist eine stetige Beobachtung voraus; wird nur täglich geprüft, hilft die Korrektur von Broadie u. a. (1997): Man verschiebt die Barriere um den Faktor exp(0,5826 σ √Δt) vom Kurs weg, mit Δt als Abstand der Beobachtungen. Asiatische Optionen sind billiger, weil ein Durchschnitt weniger schwankt. Für den geometrischen Durchschnitt gibt es eine exakte Formel, die Kemna und Vorst (1990) als Kontrollvariable für die Simulation des arithmetischen Durchschnitts nutzten. Lookbacks sind teuer, weil sie rückblickend den besten Kurs liefern (Goldman u. a. 1979; Conze und Viswanathan 1991).

Typische Strategien und ihre Auszahlung

Kombinationen mehrerer Optionen formen fast jedes Auszahlungsprofil. Die Logik liest man am besten am Verfallstag ab: Jede Option trägt dort einen Knick bei ihrem Strike bei. Die Zahlen gelten für Kurs 100, 91 Tage, 3 % Zins und 20 % Volatilität; der Einstand ist der Modellwert heute.

Gekaufte Spreads begrenzen Kosten und Gewinn zugleich. Verkaufte Strukturen wie der Iron Condor verdienen die Prämie, solange der Kurs in einer Spanne bleibt, und verlieren bei großen Bewegungen ein Vielfaches davon. Straddle und Strangle sind Wetten auf Volatilität: Sie gewinnen, wenn die tatsächliche Bewegung größer ist als die eingepreiste. Mehr zu Covered Call und Protective Put im Glossar.

Praktische Fallen

• Geld-Brief-Spanne: Bei Einzelaktien und weit aus dem Geld liegenden Strikes kann die Spanne einen großen Teil der Prämie ausmachen. Rechne mit dem Kurs, zu dem du wirklich handeln kannst, nicht mit dem Mittelkurs.
• Dividenden und frühe Ausübung: Amerikanische Calls werden kurz vor einer Dividende manchmal ausgeübt. Wer Calls verkauft hat, muss dann womöglich die Aktie liefern und verliert die Dividende.
• Theta und Gamma kurz vor Verfall: Der Zeitwert verfällt nicht gleichmäßig, sondern immer schneller gegen Ende. Am Geld wird Gamma dann sehr groß: Kleine Kursbewegungen ändern Delta stark.
• Implizit gegen realisiert: Optionen sind teuer, wenn die implizite über der später tatsächlichen Volatilität liegt. Im Mittel ist das so, in Crashs aber umgekehrt. Verkäufer verdienen lange und verlieren dann viel auf einmal.
• Modellrisiko: Konstante Volatilität und lognormale Kurse sind Näherungen. Bei Exoten, besonders bei Barrieren, entscheidet die Volatilität nahe der Barriere; ein einziger Smile-Wert am Strike kann deutlich danebenliegen.
• Sicherheitsleistung: Verkaufte Optionen verlangen Margin. Steigt sie in einem Absturz, müssen Positionen womöglich zum ungünstigsten Zeitpunkt geschlossen werden.
• Kontraktgröße: Börsengehandelte Aktienoptionen beziehen sich meist auf 100 Aktien; angezeigte Preise gelten je Aktie.

So rechnet Portfolio Lab

Der Optionsrechner bewertet europäische Optionen mit dem verallgemeinerten Black-Scholes-Merton-Modell für Aktien, Futures und Währungen und amerikanische sowie Bermuda-Optionen mit Binomialbäumen: Leisen-Reimer liefert den Hauptpreis, Cox-Ross-Rubinstein und Jarrow-Rudd stehen zum Vergleich daneben. Die Seite zeigt die Konvergenz der Bäume und die Grenze der frühen Ausübung. Barrieren rechnet sie geschlossen samt Korrektur für diskrete Beobachtung, arithmetische Asiaten mit Monte Carlo und Kontrollvariable, Lookbacks und Digitals geschlossen. Dazu kommen alle Greeks, die implizite Volatilität, ein SVI-Smile (parametrisch oder an Optionsketten angepasst) und Strategien mit bis zu acht Legs. Formeln, Voreinstellungen und Grenzen stehen in der Methodik des Optionsrechners. Als Formelsammlung dient Haug (2007), als Lehrbuch Hull (2021).

Dieser Artikel erklärt eine Methode; er ist keine Anlage- oder Steuerberatung. Zahlenbeispiele sind vereinfacht und gerundet. Alle Begriffe im Glossar.