Overfitting-Check und Diversifikationsrendite: so rechnen Backtest und Taktik
Zwei Reiter im Ergebnis des Backtests prüfen, was eine schöne Kurve wert ist. Der Overfitting-Check fragt, wie belastbar die Sharpe Ratio jedes Portfolios ist: gegen Zufall, eine kurze Historie, schiefe Renditen und viele ausprobierte Varianten. Der Reiter Diversifikationsrendite zerlegt die Wachstumsrate jedes Portfolios in das gewichtete Mittel seiner Bausteine, den Teil, der allein aus der Streuung entsteht, und einen Rest für Kosten und Steuern. Dazu kommt die Probability of Backtest Overfitting (PBO): im Backtest über die Portfolios, in der Taktik im eigenen Reiter Overfitting-Check über ein Raster von Parametern des gewählten Modells. Diese Seite beschreibt, was der Code tatsächlich rechnet. Die Reiter im Backtest rechnen mit derselben Anfrage wie der Backtest; seine Kennzahlen ändern sich dadurch nicht.
Grundlage: Überrenditen je Periode
Der Overfitting-Check nimmt die zeitgewichteten Periodenrenditen R_t, die auch die Kennzahlen des Backtests bilden, also mit Kosten und gegebenenfalls nach Steuern, ohne den Effekt von Zu- und Abflüssen. Davon zieht er den risikofreien Ertrag der Periode ab, genau wie die Kennzahl Sharpe Ratio. Mit Monatswerten ist eine Periode ein Monat, mit Tageswerten ein Handelstag. Die Benchmark läuft mit, wird aber anders gelesen (siehe unten).
x_t = R_t − rf_t; SR̂ = Mittel(x) / Standardabweichung(x); Sharpe Ratio p. a. = SR̂ × √(Perioden je Jahr)- x_t
- Überrendite der Periode t
- SR̂
- Sharpe Ratio je Periode; Standardabweichung mit dem Nenner T − 1
- Perioden je Jahr
- 12 bei Monatswerten, 252 bei Tageswerten
Die annualisierte Sharpe Ratio ist damit bis auf die letzte Stelle dieselbe wie in der Methodik der Kennzahlen. Schiefe γ̂₃ und Kurtosis γ̂₄ schätzt der Code mit denselben Schätzern wie die Kennzahlentabelle (mit Stichprobenkorrektur), aber aus den Überrenditen; zur dort gezeigten Exzess-Kurtosis kommt 3 hinzu, weil die Formeln die Kurtosis brauchen, die bei der Normalverteilung 3 beträgt. Unter 12 Perioden rechnet der Check nicht, unter 36 Perioden warnt er, dass Schiefe und Kurtosis kaum zu schätzen sind.
Standardfehler, PSR und Minimum Track Record Length
Der Standardfehler der Sharpe Ratio folgt Lo (2002) für unabhängige, normalverteilte Renditen und der Erweiterung um Schiefe und Kurtosis, die auf Elmar Mertens zurückgeht und die Bailey und López de Prado (2012) nutzen; Opdyke (2007) leitet die Verteilung allgemein her. Der Reiter zeigt beide Fassungen und dazu den 95-%-Bereich SR̂ ± 1,96 × Standardfehler, alles annualisiert mit √(Perioden je Jahr).
σ̂(SR̂) = √((1 − γ̂₃ × SR̂ + (γ̂₄ − 1) / 4 × SR̂²) / (T − 1))
PSR = Φ(SR̂ × √(T − 1) / √(1 − γ̂₃ × SR̂ + (γ̂₄ − 1) / 4 × SR̂²))
MinTRL = 1 + (1 − γ̂₃ × SR̂ + (γ̂₄ − 1) / 4 × SR̂²) × (z₀,₉₅ / SR̂)²- T
- Zahl der Perioden
- Φ
- Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
- z₀,₉₅
- 95-%-Quantil der Standardnormalverteilung, rund 1,645
Die Probabilistic Sharpe Ratio (PSR) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die wahre Sharpe Ratio über null liegt. Die Minimum Track Record Length (MinTRL) ist die Zahl der Perioden, ab der die PSR mit denselben Schätzwerten 95 % erreicht; der Reiter rechnet sie in Jahre um und stellt sie der vorhandenen Historie gegenüber. Ist die Sharpe Ratio nicht positiv, gibt es keine Mindestlänge. Alle Formeln setzen die Sharpe Ratio je Periode ein, nicht die annualisierte. Den Unterschied erklärt der Artikel Deflated Sharpe Ratio.
Deflated Sharpe Ratio: Zahl und Streuung der Varianten
Wer viele Gewichte, Regeln oder Zeiträume ausprobiert und das beste Portfolio zeigt, misst eine zu hohe Sharpe Ratio (Selection Bias). Die Deflated Sharpe Ratio von Bailey und López de Prado (2014) ersetzt deshalb die Schwelle null durch die erwartete beste Sharpe Ratio SR₀ von N Varianten ohne echten Vorteil. Beide Eingaben macht der Reiter sichtbar:
SR₀ = √V × ((1 − γ) × Φ⁻¹(1 − 1/N) + γ × Φ⁻¹(1 − 1/(N × e))); DSR = PSR gegen SR₀- N
- Antwort auf „Wie viele Varianten hast du ausprobiert?“, Standard 1, höchstens 1.000.000
- √V
- Streuung der Sharpe Ratios der Varianten je Periode; eingegeben wird sie p. a. (0 bis 10)
- γ, e
- Euler-Mascheroni-Konstante (≈ 0,5772) und Eulersche Zahl
- Eine Variante: Bei N = 1 setzt der Code SR₀ = 0; die DSR ist dann genau die PSR gegen null. Erst mit mehr Varianten steigt die Hürde.
- Standard für die Streuung: 1/√(T − 1) je Periode. Das ist der Standardfehler von oben bei einer wahren Sharpe Ratio von null. Dann fallen Schiefe und Kurtosis aus der Formel heraus. Varianten ohne echten Vorteil streuen allein durch Zufall so stark; p. a. sind das rund 1/√Jahre, wie im Artikel Backtest-Overfitting. Wer die Sharpe Ratios seiner Varianten kennt, trägt ihre Standardabweichung p. a. als eigenen Wert ein.
- Unabhängige Versuche: N zählt unabhängige Versuche. Sehr ähnliche Varianten (etwa gleitende Durchschnitte über 9 und 10 Monate) zählen zusammen eher als einer; López de Prado und Lewis (2019) schätzen die effektive Zahl mit einem Clustering-Verfahren. Wer N zu klein ansetzt, überschätzt die DSR.
- Benchmark: Sie wurde nicht aus Varianten ausgewählt. Für sie zeigt der Reiter Standardfehler, PSR und Mindestlänge, aber keine DSR.
Lesart und Hinweise
Jedes Portfolio bekommt eine von vier Lesarten, alle mit der Sicherheit 95 %:
- belastbar: Die DSR erreicht 95 %. Bei einer Variante heißt das: PSR gegen null mindestens 95 %.
- Glück nicht ausgeschlossen: Die PSR gegen null erreicht 95 %, die DSR nach N Varianten nicht.
- Historie zu kurz: Die PSR gegen null bleibt unter 95 %; die vorhandene Historie ist kürzer als die Mindestlänge.
- nicht über null: Die Sharpe Ratio ist null oder negativ; es gibt kein Können zu belegen.
Dazu prüft der Code die Annahmen sichtbar: Liegt die Autokorrelation erster Ordnung der Überrenditen betragsmäßig über 2/√T, erscheint ein Hinweis, denn die Formeln unterstellen unabhängige Renditen und die Annualisierung mit √12 verzerrt dann die Sharpe Ratio (Lo 2002). Bei Tageswerten weist der Reiter darauf hin, dass die Mindestlängen mit 252 Handelstagen je Jahr umgerechnet sind.
Probability of Backtest Overfitting: CSCV im Code
Die PBO nach Bailey u. a. (2016) prüft nicht eine Kennzahl, sondern die Auswahl: Wie oft landet die Variante, die in einem Teil der Daten am besten ist, im anderen Teil höchstens im Median aller Varianten? Der Code (core/pbo.py, Funktion cscv) bekommt dafür eine Matrix aus T Perioden und N Varianten mit den Überrenditen je Periode wie oben und rechnet die Combinatorially Symmetric Cross-Validation (CSCV) vollständig durch. Die Idee erklärt der Artikel Probability of Backtest Overfitting.
S = größte gerade Zahl ≤ 16 mit T // S ≥ 6; L = T // S; die ersten T − S × L Perioden fallen weg
je Teilung c (alle C(S, S/2) Auswahlen von S/2 Blöcken): n* = argmax SR_innen; r_c = Rang von SR_außen(n*) unter allen N
λ_c = ln(r_c / (N + 1 − r_c)); PBO = Anteil der Teilungen mit λ_c ≤ 0- SR
- Sharpe Ratio je Periode der Hälfte: Mittel / Standardabweichung (Nenner n − 1) über alle Perioden ihrer Blöcke; ohne Schwankung 0
- r_c
- 1 = schlechteste, N = beste; Gleichstände mit mittlerem Rang, bei Gleichstand innen zählt die erste Variante
- L
- Perioden je Block, mindestens 6; unter 24 Perioden (4 Blöcke zu 6) rechnet der Code nicht
- Vektorisiert: Je Block und Variante bildet der Code Summe und Quadratsumme der um das Spaltenmittel zentrierten Überrenditen. Die Werte innen sind die Kombinationsmatrix (0 oder 1 je Block) mal diese Blocksummen, außen der Rest. So sind die 12.870 Teilungen bei 16 Blöcken und 40 Varianten in einem Bruchteil einer Sekunde gerechnet; eine Schleife über alle Teilungen in den Tests liefert dieselben Werte.
- Histogramm: Die λ fallen in Klassen (a, b] der Breite 0,5; null ist Klassengrenze, λ = 0 zählt also links zur PBO, und auf jeder Seite der Null gibt es mindestens eine Klasse.
- Leistungsabfall: Regression der Sharpe Ratio p. a. der Siegerin außen auf ihre Sharpe Ratio innen über alle Teilungen, mit Steigung, Achsenabschnitt und R². Das Streudiagramm zeigt höchstens 800 Teilungen als feste Stichprobe, die Regression nutzt alle.
- Verlustwahrscheinlichkeit: Anteil der Teilungen mit einer Sharpe Ratio der Siegerin außen unter null.
- Auswahlhäufigkeit: Je Variante der Anteil der Teilungen, in denen sie innen die beste ist.
- Hinweise: wenn früheste Perioden wegfallen, wenn weniger als 16 Blöcke möglich sind, bei höchstens drei Varianten und wenn Varianten genau dieselben Renditen haben.
Lesart, wie bei den anderen Kennzahlen mit fester Konvention: unter 10 % unauffällig, 10 bis 50 % Vorsicht, über 50 % überangepasst. 50 % ist der Wert, den Varianten ohne echten Unterschied erwarten lassen: Dann sagt der Rang innen nichts über den Rang außen, und die Siegerin landet außen so oft über wie unter dem Median. Darüber ist die Auswahl schlechter als Zufall. Unter 10 % hält die Auswahl in neun von zehn Teilungen; die Grenze entspricht einer üblichen Irrtumswahrscheinlichkeit.
Im Backtest rechnet der Reiter die PBO über die Portfolios ohne Benchmark, sobald es mindestens zwei sind, mit den Überrenditen in der Frequenz des Backtests. Mit zwei oder drei Portfolios kann der Rang kaum Werte annehmen; der Reiter sagt das deutlich und verweist auf das Raster der Taktik. Ist die Historie zu kurz, erscheint statt der PBO ein Hinweis.
Overfitting-Check der Taktik: Raster je Modell
In der Taktik rechnet der Reiter Overfitting-Check (core/pbo.py, Funktion run_tactical_grid) das gewählte Modell über ein Raster seiner Parameter. Die Kurse lädt er einmal, das Regime-Modell schätzt er einmal (die Schwelle wirkt erst danach). Jede Variante nutzt dasselbe Basisportfolio, dasselbe Ausweich-Asset, dieselbe Umsetzung (am Signal-Monatsende oder einen Monat später) und dieselben Handelskosten wie die Seite; alle übrigen Parameter bleiben wie eingestellt. Höchstens 40 Varianten:
| Modell | Standardraster | Zweites Raster |
|---|---|---|
| Gleitender Durchschnitt | Fenster 3 bis 12 Monate (10) | Fenster 2 bis 24 Monate (23) |
| Dual Momentum | Lookback 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 Monate × 1 bis 3 gehaltene Assets (bis 21) | Lookback 1 bis 12 Monate (12) |
| Relative Stärke | 8 Kombinationen der Lookback-Fenster × 1 bis 3 gehaltene Assets (bis 24) | 8 Kombinationen der Fenster (8) |
| Zielvolatilität | Ziel 5 bis 20 % in Schritten von 1 Prozentpunkt (16) | Ziel 5 bis 20 % in Schritten von 2,5 Prozentpunkten × Lookback 3, 6, 12 Monate (21) |
| Adaptive Allocation | Momentum-Lookback 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12 Monate (8) | Lookback 3, 6, 12 Monate × 1 bis 3 gehaltene Assets (bis 9) |
| Bewertung (CAPE) | voll investiert bis Perzentil 30, 40, 50, 60, 70 % × Mindestanteil ab 80, 85, 90, 95 % (20) | Mindestanteil 0 bis 60 % in Schritten von 10 Prozentpunkten (7) |
| Protective (PAA) | gleitender Durchschnitt 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12 Monate × Schutzfaktor 0, 1, 2 (21) | gleitender Durchschnitt 1 bis 12 Monate (12) |
| Vigilant (VAA) | 1 bis 4 gehaltene Assets × Breite 1 bis 4 (bis 16) | – |
| Defensive (DAA) | 1 bis 4 gehaltene Assets × Breite 1 bis Zahl der Kanarien (bis 24) | – |
| Regime (HMM) | Schwelle 30 bis 90 % in Schritten von 5 Prozentpunkten und die Regel Anteil nach Wahrscheinlichkeit (14) | – |
Gehaltene Assets und Breite gehen höchstens bis zur Zahl der Bausteine. Accelerating Dual Momentum hat keine Parameter und deshalb kein Raster. Die acht Kombinationen der Relativen Stärke sind 1, 3, 6, 12; 3, 6, 12; 1, 3, 6; 6, 12; 3, 6; 12; 6 und 3 Monate. Varianten, für die die Historie nicht reicht, fehlen mit Hinweis.
Weil die Varianten unterschiedlich lange Vorlauf brauchen, zählt nur der Zeitraum, den alle gemeinsam haben; alle Kennzahlen der Tabelle (Sharpe Ratio, CAGR, Volatilität, maximaler Drawdown, Rang nach Sharpe Ratio) gelten für ihn und weichen deshalb leicht von der Taktik-Rechnung ab. Auf die Überrenditen dieses Zeitraums wendet der Code CSCV wie oben an. Die beste Variante nach Sharpe Ratio bekommt dazu die Deflated Sharpe Ratio aus dem Abschnitt oben, mit N = Zahl der Varianten und der beobachteten Standardabweichung ihrer Sharpe Ratios p. a. (Nenner N − 1) als Streuung. Die Varianten eines Rasters sind einander ähnlich: N überzeichnet die Zahl unabhängiger Versuche, die beobachtete Streuung fällt dafür kleiner aus; die Hürde ist deshalb nur grob.
Diversifikationsrendite: Zerlegung der Wachstumsrate
Der zweite Reiter folgt der stochastischen Portfoliotheorie von Fernholz und Shay (1982) und Fernholz (2002). Er arbeitet mit stetigen Wachstumsraten g = log(1 + CAGR): Anders als CAGR-Werte lassen sie sich gewichten und addieren. Je Periode nimmt der Code die tatsächlichen Gewichte zu Periodenbeginn wᵢ (also die Gewichte nach dem letzten Handel, nach Rebalancing, Sparrate oder Entnahme) und die Renditen Rᵢ der Einzelwerte mit genau den Kursen, mit denen der Backtest rechnet:
log(1 + R_p) = Σ wᵢ × log(1 + Rᵢ) + γ*_t + Rest_t
γ*_t = log(Σ wᵢ × (1 + Rᵢ)) − Σ wᵢ × log(1 + Rᵢ) ≥ 0
Rest_t = log(1 + R_p) − log(Σ wᵢ × (1 + Rᵢ))- R_p
- zeitgewichtete Rendite des Portfolios in der Periode
- γ*_t
- Diversifikationsrendite der Periode, in der stochastischen Portfoliotheorie Überschusswachstum (excess growth rate); nach der Jensen-Ungleichung nie negativ
- Rest_t
- Kosten, Steuern und Zu- und Abflüsse innerhalb der Periode; ohne sie genau null
Alle drei Teile summiert der Code über die Perioden und teilt durch die Jahre wie bei der CAGR; so ergibt sich die Wachstumsrate des Portfolios genau als gewichtetes Mittel der Wachstumsraten plus Diversifikationsrendite plus Rest. Zusatzkosten und Handelskosten mindern nur die Rendite des Portfolios und landen deshalb im Rest, ebenso mit Steuern die gezahlten Steuern. Mit Sparplan am Ausführungstag simuliert der Backtest täglich und wertet monatlich aus; Zu- und Abflüsse mitten im Monat verschieben dann die Gewichte, und auch dieser Effekt steht im Rest. Die Benchmark besteht aus einem Wertpapier und fehlt; ein Portfolio aus einem Wertpapier hat γ* = 0. Bei einem Totalverlust (Logarithmus von null) zerlegt der Code nicht.
Ein Diagramm zeigt γ* je Kalenderjahr (Summe über die Perioden des Jahres; erstes und letztes Jahr können unvollständig sein), eine Tabelle je Baustein Zielgewicht, mittleres Gewicht zu Periodenbeginn, CAGR, Wachstumsrate, Volatilität der logarithmierten Renditen und den Beitrag Σ_t wᵢ × log(1 + Rᵢ) je Jahr. Die Beiträge ergeben zusammen das gewichtete Mittel.
Näherung und Vergleich nach Booth und Fama
Booth und Fama (1992) vergleichen das Wachstum eines Portfolios mit dem gewichteten Mittel der Wachstumsraten seiner Bausteine bei festen Gewichten. Der Code nimmt dafür die Zielgewichte, beim Zeitplan die durchschnittlichen Zielgewichte und bei der Wertschwelle die durchschnittlichen tatsächlichen Gewichte, genau wie bei den Gewinn- und Risikobeiträgen im Backtest. Den Abstand nähert er mit der bekannten Formel an:
Abstand = g_p − Σ wᵢ × gᵢ ≈ ½ × (Σ wᵢ × σᵢ² − wᵀ × S × w)- g_p, gᵢ
- Wachstumsraten p. a. des Portfolios und der Bausteine über dieselben Perioden
- S
- Kovarianzmatrix der logarithmierten Periodenrenditen (Stichprobe, Nenner T − 1); σᵢ² stehen auf der Diagonale
- w
- feste Gewichte wie oben
Die Näherung rechnet der Code je Periode und auf Jahre hochgerechnet wie die Zerlegung. Wird in jeder Periode auf die Zielgewichte zurückgeführt, sind Abstand und γ* ohne Kosten und Steuern gleich. Mit selteneren Terminen oder ganz ohne Rebalancing kommt der Effekt wandernder Gewichte hinzu: Die Gewichte driften zu den Gewinnern, und der Abstand weicht von γ* ab. Genau diesen Unterschied betont Willenbrock (2011): Beim Kaufen und Halten stammt der Vorsprung daraus, dass die besten Anlagen einen größeren Anteil des Portfolios ausmachen.
Was die Forschung zeigt
Bailey u. a. (2014) zeigen, wie leicht viele Varianten eine hohe Sharpe Ratio im Backtest erzeugen; die DSR von Bailey und López de Prado (2014) korrigiert dafür, und Harvey und Liu (2015) übertragen den Gedanken mit einem Abschlag auf einzelne Backtests. Zur Diversifikationsrendite betonen Bouchey u. a. (2012), dass das zusätzliche Wachstum aus Streuen und systematischem Rebalancing kein höherer arithmetischer Ertrag ist, sondern ein höheres Wachstum durch Zinseszins. Chambers und Zdanowicz (2014) gehen weiter: Die Diversifikationsrendite erhöht den Erwartungswert nicht; ein Vorteil des Rebalancing stammt aus Mean Reversion. Qian (2012) zeigt, dass sie nur für Portfolios ohne Hebel und Leerverkauf sicher nicht negativ ist.
Grenzen
- Alles Rückblick: Beide Reiter beschreiben die gewählte Historie. Eine hohe DSR oder Diversifikationsrendite sagt nichts darüber, wie die nächsten Jahre verlaufen.
- Annahmen der Formeln: unabhängige, gleich verteilte Renditen; Schiefe und Kurtosis aus derselben, oft kurzen Reihe. Ein einzelner Crash-Monat verschiebt sie stark.
- Die Zahl N kennst nur du: Der Code kann nicht wissen, wie oft du Gewichte geändert und neu gerechnet hast. Jeder neue Lauf nach einem Blick auf das Ergebnis ist eine weitere Variante.
- Kosten, Steuern, Sparplan: Sie verzerren die Zerlegung nicht, stehen aber vollständig im Rest; die Diversifikationsrendite selbst rechnet mit den Kursrenditen der Einzelwerte, also ohne die Zusatz- und Handelskosten des Backtests.
- Hebel: Gehebelte Wertpapiere gehen mit ihren gehebelten Renditen ein; ihr eigener Volatility Drag steckt in ihrer Wachstumsrate, nicht in γ*.
Häufige Fragen
Wie berechnet der Backtest die Deflated Sharpe Ratio?
Aus den Überrenditen je Periode: Sharpe Ratio, Schiefe und Kurtosis, dann die PSR gegen die Hürde SR₀, also die erwartete beste Sharpe Ratio von N Varianten ohne echten Vorteil. N gibst du ein, die Streuung der Varianten ist automatisch 1/√(T − 1) je Periode oder ein eigener Wert p. a.
Warum ist die DSR bei einer Variante gleich der PSR?
Bei N = 1 gibt es keine Auswahl unter Varianten, die Hürde SR₀ ist null. Die DSR ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die wahre Sharpe Ratio über null liegt, also die PSR gegen null.
Welche Zahl der Varianten soll ich eintragen?
Alle unabhängigen Versuche, auch verworfene: andere Gewichte, Regeln, Zeiträume oder Wertpapiere. Sehr ähnliche Varianten zählen zusammen eher als eine. Im Zweifel lieber mehr als weniger, sonst fällt die DSR zu hoch aus.
Was ist die Diversifikationsrendite im Backtest?
Der Teil der Wachstumsrate, der allein daraus entsteht, dass die Bausteine nicht im Gleichschritt schwanken: je Periode log(Σ wᵢ(1 + Rᵢ)) − Σ wᵢ log(1 + Rᵢ), über alle Perioden summiert und auf Jahre gerechnet. Sie ist nie negativ.
Wie rechnet die Taktik die Probability of Backtest Overfitting?
Sie rechnet das Modell über ein Raster seiner Parameter, etwa den gleitenden Durchschnitt über 3 bis 12 Monate, teilt die gemeinsamen Monate in 16 Blöcke und geht alle 12.870 Teilungen in zwei gleich große Hälften durch. Die PBO ist der Anteil der Teilungen, in denen die innen beste Variante außen höchstens im Median liegt.
Warum weicht der Abstand nach Booth und Fama von γ* ab?
Booth und Fama rechnen mit festen Gewichten, γ* mit den tatsächlichen Gewichten zu Periodenbeginn. Ohne Rebalancing in jeder Periode wandern die Gewichte zu den Gewinnern; dieser Effekt und der Rest für Kosten und Steuern stecken im Abstand, nicht in γ*.
Literatur
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- Bailey, David H.; Borwein, Jonathan M.; López de Prado, Marcos; Zhu, Qiji Jim (2014): Pseudo-Mathematics and Financial Charlatanism: The Effects of Backtest Overfitting on Out-of-Sample Performance. Notices of the American Mathematical Society 61 (5), S. 458–471. doi:10.1090/noti1105
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- Fernholz, Robert; Shay, Brian (1982): Stochastic Portfolio Theory and Stock Market Equilibrium. The Journal of Finance 37 (2), S. 615–624. doi:10.1111/j.1540-6261.1982.tb03584.x
- Harvey, Campbell R.; Liu, Yan (2015): Backtesting. The Journal of Portfolio Management 42 (1), S. 13–28. doi:10.3905/jpm.2015.42.1.013
- Lo, Andrew W. (2002): The Statistics of Sharpe Ratios. Financial Analysts Journal 58 (4), S. 36–52. doi:10.2469/faj.v58.n4.2453
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