Anleihen-Mathematik: Preis, Rendite, Duration, Konvexität und Spreads rechnen

Q: Wie berechnet man den Preis einer Anleihe?

Man zinst jeden Kupon und die Rückzahlung mit der Rendite ab und addiert die Barwerte. Eine fünfjährige Anleihe mit 3 % Kupon kostet bei 4 % Rendite 95,55 je 100 Nennwert.

Q: Was ist der Unterschied zwischen Clean Price und Dirty Price?

Der Clean Price ist der notierte Kurs ohne aufgelaufene Zinsen, der Dirty Price der tatsächlich gezahlte Betrag einschließlich Stückzinsen. Direkt nach einem Kupontermin sind beide gleich.

Q: Wie genau ist die Näherung mit Duration und Konvexität?

Für Renditeänderungen bis etwa einen Prozentpunkt sehr genau, im Beispiel auf 0,01 Prozentpunkte. Bei größeren Sprüngen und bei Anleihen mit Kündigungsrecht sollte man die Anleihe neu bewerten.

Q: Was ist der Z-Spread?

Der feste Aufschlag auf alle Spot-Zinsen einer Referenzkurve, mit dem der Barwert einer Anleihe genau ihren Marktpreis ergibt. Für Anleihen ohne Optionen gilt er als genauestes Spread-Maß.

Q: Was bedeutet Breakeven-Inflation?

Die Inflationsrate, bei der eine inflationsindexierte und eine nominale Anleihe gleicher Laufzeit gleich viel bringen. Sie entspricht ungefähr Nominalrendite minus Realrendite. Sie enthält aber auch Risiko- und Liquiditätsprämien.

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Anleihen-Mathematik heißt: jede Zahlung einer Anleihe abzinsen und aus diesen Barwerten Kurs, Rendite und Risiko ablesen. Dieser Artikel rechnet alles an einer Beispielanleihe durch: von Kurs und Stückzinsen über Spot- und Forward-Zinsen bis zu Duration, Konvexität, Spreads, Carry und Inflationsanleihen. Was die Duration bedeutet, erklärt der Artikel Duration, die Formen der Zinskurve der Artikel Zinskurve; hier geht es ums Rechnen.

Preis einer Anleihe: Barwert aller Zahlungen

Eine Anleihe mit festem Kupon zahlt bis zur Fälligkeit regelmäßig Zinsen und am Ende den Nennwert zurück. Ihr fairer Preis ist der Barwert dieser Zahlungen. Mit einer einzigen Rendite y für alle Laufzeiten gilt:

P = Σ_{k=1..N} (C / f) / (1 + y / f)^k + 100 / (1 + y / f)^N

P: Preis je 100 Nennwert, einschließlich aufgelaufener Zinsen (Dirty Price)
C: Kupon in Prozent des Nennwerts pro Jahr
f: Kuponzahlungen pro Jahr: 1 bei Bundesanleihen, 2 bei US-Treasuries
N: Zahl der verbleibenden Kupontermine
y: Rendite bis Fälligkeit pro Jahr

Zahlungen der Beispielanleihe und ihre Barwerte heute

Kupons maßstabsgetreu, die Rückzahlung gekürzt gezeichnet; gestrichelt der Kupon vor dem Abzinsen. Alle fünf Kupons sind heute zusammen 13,36 wert, die Rückzahlung 82,19. Im fünften Jahr ergeben Kupon (2,47) und Rückzahlung zusammen 84,66.

Stückzinsen, Clean und Dirty Price, Zinstagekonventionen

Zwischen zwei Kuponterminen laufen Zinsen auf. Wer kauft, zahlt dem Verkäufer diese Stückzinsen zusätzlich, bekommt dafür beim nächsten Termin den ganzen Kupon. Notiert wird der Clean Price ohne Stückzinsen, gezahlt der Dirty Price (Full Price) = Clean Price + Stückzinsen (siehe Clean und Dirty Price). Der Clean Price springt deshalb nicht am Kupontag, der Dirty Price schon. Wie die Tage gezählt werden, regelt die Zinstagekonvention der jeweiligen Anleihe (Tuckman und Serrat 2012).

Stückzinsen = C / f × Tagesanteil der laufenden Kuponperiode; Dirty Price = Clean Price + Stückzinsen

act/act (ICMA): tatsächliche Tage seit dem letzten Kupon / tatsächliche Tage der Kuponperiode
30/360: jeder Monat zählt 30 Tage, das Jahr 360 Tage
act/360: tatsächliche Tage / 360, üblich am Geldmarkt

Für Euro-Staatsanleihen ist act/act üblich, am Euro-Geldmarkt act/360, für die feste Seite von Euro-Zinsswaps und viele US-Unternehmensanleihen 30/360. Maßgeblich sind immer die Anleihebedingungen. Auch Renditen hängen an der Konvention: Ein Geldmarktsatz von 4 % nach act/360 entspricht 4,06 % nach act/365.

Rendite bis Fälligkeit und ihre Annahmen

Die Rendite bis Fälligkeit (Yield to Maturity, YTM) ist der eine Zins y, der die Preisformel zum Marktpreis erfüllt, mathematisch also der interne Zinsfuß der Anleihe. Man sucht y numerisch, etwa mit dem Newton-Verfahren. Für die Beispielanleihe zum Preis 95,55 ergibt sich genau 4 %. Die Zahl ist bequem, beruht aber auf drei Annahmen:

Halten bis zur Fälligkeit: Wer vorher verkauft, bekommt den dann gültigen Kurs.
Wiederanlage zu y: Alle Kupons werden zur gleichen Rendite wieder angelegt. Sinken die Zinsen, bleibt der tatsächliche Ertrag darunter.
Kein Ausfall, keine Kündigung: Bei Unternehmensanleihen ist die YTM die Rendite im besten Fall.

Eine einzige Rendite für alle Zahlungen ist zudem eine Vereinfachung: Zwei Anleihen gleicher Laufzeit mit verschiedenem Kupon haben bei gekrümmter Zinskurve unterschiedliche Renditen (Kupon-Effekt). Sauberer rechnet man mit einem eigenen Zins für jeden Zahlungszeitpunkt.

Spot-Zinsen, Forward-Zinsen und Bootstrapping

Ein Spot-Zins z_t ist die Rendite einer Nullkuponanleihe mit Laufzeit t. Mit Spot-Zinsen wird jede Zahlung mit ihrem eigenen Zins abgezinst. Da es nicht für jede Laufzeit Nullkuponanleihen gibt, gewinnt man sie aus Kupon-Anleihen oder Swapsätzen Schritt für Schritt: Der Diskontfaktor für ein Jahr folgt aus dem Einjahressatz, der für zwei Jahre aus dem Zweijahressatz und dem schon bekannten ersten. Dieses Verfahren heißt Bootstrapping. Zwischen den Stützstellen muss man interpolieren; Hagan und West (2006) zeigen, dass viele verbreitete Verfahren unplausible Terminzinsen oder wenig einleuchtende Absicherungen liefern.

DF_n = (1 − c_n × Σ_{k<n} DF_k) / (1 + c_n); z_n = DF_n^(−1/n) − 1; f_{n−1,n} = DF_{n−1} / DF_n − 1

c_n: Par-Satz (Kupon einer Anleihe, die zu 100 notiert) für n Jahre, jährliche Zahlung
DF_n: Diskontfaktor: heutiger Wert von 1 €, gezahlt in n Jahren
f_{n−1,n}: einjähriger Terminzins von Jahr n − 1 bis Jahr n

Par-, Spot- und Terminzinsen der Beispielkurve

Zahlen aus der Beispielkurve oben; der Terminzins für das Jahr von n − 1 bis n steht bei Laufzeit n. Bei steigender Kurve liegen die Spot-Zinsen über den Par-Sätzen und die Terminzinsen noch darüber.

Duration, DV01 und Konvexität am Beispiel

Die Definitionen von Macaulay-Duration, modifizierter Duration und Konvexität stehen im Artikel Duration. Hier die Zahlen für die Beispielanleihe:

ΔP / P ≈ −D_mod × Δy + ½ × C × Δy²;   D_eff = (P₋ − P₊) / (2 × P₀ × Δy);   C_eff = (P₊ + P₋ − 2 × P₀) / (P₀ × Δy²)

Δy: Renditeänderung als Dezimalzahl (100 bp = 0,01)
P₊, P₋: Preis nach Verschiebung der Rendite um +Δy bzw. −Δy
D_eff, C_eff: effektive Duration und Konvexität aus einem Bewertungsmodell, nötig bei Anleihen mit Kündigungsrechten

Mit Δy = 10 Basispunkten liefern die effektiven Formeln für die Beispielanleihe wieder 4,53 und 25,60; ohne Optionen sind beide Wege gleichwertig. Bei kündbaren Anleihen und Hypothekenpapieren bewertet man P₊ und P₋ mit einem Zinsmodell, das die Ausübung berücksichtigt. Dort kann die Konvexität negativ werden. Die Key-Rate-Durations nach Ho (1992) verteilen die Duration auf Laufzeitpunkte: Verschiebt man in einer flachen Spot-Kurve von 4 % einzeln die Punkte 1, 2, 3 und 5 Jahre (die Zahlung nach 4 Jahren je zur Hälfte auf 3 und 5), ergeben sich 0,03 / 0,06 / 0,13 / 4,31, zusammen wieder 4,53.

Spread-Maße: G-, I-, Z-Spread, OAS und Asset-Swap-Spread

Als Unternehmensanleihe enthalten die 4 % der Beispielanleihe einen Aufschlag für Ausfall- und Liquiditätsrisiko, den Credit Spread. Seine Größe hängt von Referenzkurve und Rechenweg ab (O'Kane und Sen 2005). Referenz ist hier die Beispielkurve als Swapkurve und eine angenommene fünfjährige Staatsanleihe mit 2,70 %:

Maß	Rechnung	Beispiel
G-Spread	YTM minus Rendite einer Staatsanleihe gleicher Laufzeit	4,00 − 2,70 = 130 bp
I-Spread	YTM minus Swapsatz gleicher Laufzeit	4,00 − 2,90 = 110 bp
Z-Spread	fester Aufschlag auf alle Spot-Zinsen der Swapkurve, bis der Barwert den Marktpreis trifft	110,1 bp
Asset-Swap-Spread (par/par)	(Preis auf der Swapkurve − Marktpreis) / Annuität der Swapkurve	(100,46 − 95,55) / 4,628 = 106,2 bp
OAS	Z-Spread nach Abzug des Werts eingebetteter Optionen, mit Zinsmodell	ohne Optionen gleich dem Z-Spread

Der Z-Spread ist für Anleihen ohne Optionen das sauberste Maß, weil er die Form der Kurve nutzt. Der Asset-Swap-Spread ist der Aufschlag auf den variablen Zins für jemanden, der die Anleihe kauft und ihre festen Kupons per Swap in variable tauscht; unter pari liegt er unter dem Z-Spread, über pari darüber. Der Option-Adjusted Spread braucht ein Zinsmodell: Bei einer vom Emittenten kündbaren Anleihe ist er kleiner als der Z-Spread, weil ein Teil des Aufschlags nur die verkaufte Kündigungsoption bezahlt. Die Reaktion auf Spread-Änderungen misst die Spread-Duration.

Carry und Roll-down: Ertrag bei unveränderter Kurve

Bleibt die Zinskurve gleich, verdient eine Anleihe ihren Kupon (Carry) und zusätzlich den Roll-down: Sie wird kürzer und rutscht bei steigender Kurve in eine niedrigere Rendite, ihr Kurs steigt. Für einen kurzen Zeitraum Δt gilt näherungsweise die folgende Formel, mit der auch der Carry-Backtest rechnet:

Ertrag ≈ y_n × Δt + D × (y_n − y_{n−Δt})

y_n: Rendite der Laufzeit n
y_{n−Δt}: Rendite der um Δt kürzeren Laufzeit, zwischen Stützstellen linear interpoliert
D: modifizierte Duration; für eine Par-Anleihe D = (1 − (1 + y/f)^(−f·n)) / y

Carry ist eine Prognose bei unveränderten Preisen, keine sichere Rendite. Koijen u. a. (2018) fanden für viele Anlageklassen, darunter Staatsanleihen, dass hoher Carry höhere Renditen vorhersagte; in globalen Rezessionen schnitten Carry-Strategien aber in allen Anlageklassen zugleich schlecht ab. Mehr unter Carry Trade.

Inflationsanleihen: Realrendite und Breakeven

Bei einem Linker wachsen Nennwert und Kupon mit einem Preisindex, im Euroraum meist dem HVPI ohne Tabak. Kurs und Rendite werden real angegeben: Die Realrendite ist der Realzins, den du bekommst, wenn die Inflation genau dem Index folgt. Den Vergleich mit einer nominalen Anleihe gleicher Laufzeit liefert die Fisher-Gleichung:

Breakeven = (1 + y_nominal) / (1 + y_real) − 1 ≈ y_nominal − y_real

y_nominal: Rendite einer nominalen Anleihe
y_real: Realrendite eines Linkers gleicher Laufzeit

Die Breakeven-Inflation ist nicht einfach die erwartete Inflation. Sie enthält eine Inflationsrisikoprämie (Bekaert und Wang 2010) und wird durch die schlechtere Handelbarkeit der Linker verzerrt: D'Amico u. a. (2018) fanden, dass die Renditen inflationsgeschützter US-Staatsanleihen nach ihrer Einführung bis zu 100 und in der Finanzkrise 2007–2008 bis zu 300 Basispunkte über dem risikofreien Realzins lagen, überwiegend wegen geringerer Liquidität. Die Duration eines Linkers misst das Risiko des Realzinses. Mehr unter reale Rendite.

Für Fortgeschrittene: Absicherung und geschlossene Formeln

Fisher-Weil-Duration: Jede Zahlung wird mit ihrem Spot-Zins abgezinst und die ganze Spot-Kurve verschoben; bei flacher Kurve ergibt das wieder die modifizierte Duration, wie die Summe der Key Rates oben zeigt.
Absichern über DV01: Um 1 Mio. € der Beispielanleihe (DV01 432,68 €) gegen Zinsänderungen abzusichern, verkauft man eine zehnjährige Par-Anleihe mit Rendite 2,6 % (Duration 8,71, DV01 870,70 € je Mio.) im Nennwert von 432,68 / 870,70 = 0,50 Mio. €. Das schützt gegen Parallelverschiebungen, nicht gegen Drehungen der Kurve.
Par-Anleihe: Für eine Anleihe zu pari ist D = (1 − (1 + y/f)^(−f·n)) / y; geht y gegen null, strebt D gegen die Laufzeit n. Eine ewige Anleihe hat die Macaulay-Duration (1 + y) / y, bei 4 % also 26 Jahre, unabhängig vom Kupon.
Portfolio: Duration und Konvexität eines Portfolios sind die mit Marktwerten gewichteten Mittel der Einzelwerte. Eine Hantel (Barbell) aus kurzen und langen Anleihen ist konvexer als eine einzelne Anleihe gleicher Duration.

Was die Forschung zeigt

Macaulay (1938) führte die Duration als mittlere Bindungsdauer der Zahlungen ein.
Redington (1952) formulierte für Versicherer die Immunisierung: gleiche Duration von Vermögen und Verpflichtungen. Fisher und Weil (1971) zeigten an US-Daten, dass eine Strategie mit passender Duration ein festes Anlageziel zuverlässiger erreichte als eine mit passender Laufzeit.
Litterman und Scheinkman (1991) fanden, dass drei gemeinsame Faktoren (Niveau, Steigung und Krümmung) den größten Teil der Bewegungen von Anleiherenditen erklären. Das ist die Grundlage von Faktormodellen für das Zinsrisiko.
Campbell und Shiller (1991) zeigten, dass eine steile Kurve langfristig steigende kurze Zinsen ankündigte, kurzfristig aber fallende lange Renditen. Terminzinsen sind also keine reinen Erwartungen.
Cochrane und Piazzesi (2005) fanden einen einzigen zeltförmigen Faktor aus Terminzinsen, der die Überrenditen ein- bis fünfjähriger Anleihen über ein Jahr mit einem R² von bis zu 0,44 vorhersagte. Er verlief antizyklisch, und ein wichtiger Teil davon steckt nicht in Niveau, Steigung und Krümmung.

Grenzen und typische Fehler

Clean und Dirty verwechseln: Kursvergleiche über einen Kupontermin hinweg brauchen den Clean Price, Barwerte und Renditen den Dirty Price.
Konventionen mischen: Wer act/360 und act/365 durcheinanderbringt, liegt schnell mehrere Basispunkte daneben.
Näherungen überdehnen: Duration und Konvexität gelten für kleine, parallele Verschiebungen; bei großen Sprüngen oder Drehungen der Kurve hilft nur die Neubewertung.
Spreads vergleichen: G-, I- und Z-Spread derselben Anleihe weichen voneinander ab, im Beispiel zwischen 106 und 130 Basispunkten. Vergleiche sind nur mit demselben Maß sinnvoll.

So rechnet Portfolio Lab

Ein Werkzeug für einzelne Anleihen gibt es nicht; die Formeln stecken an drei Stellen. Der Carry-Backtest rechnet jede Laufzeit der Zinskurve als Par-Anleihe mit der Duration von oben und ihrer Konvexität (US-Treasuries mit zwei Kupons pro Jahr, Bundesanleihen mit einem), erwartet Carry plus Roll-down und realisiert y × Δt − D × Δy + ½ × C × Δy² pro Monat (Methodik Carry).

Die Anlageklassen verlängern Rentenfonds rückwärts mit synthetischen Anleihen: Zu jedem Monatsende wird eine Anleihe mit konstanter Restlaufzeit zu pari gekauft und einen Monat später mit der neuen Rendite und einen Monat kürzerer Laufzeit bewertet, und zwar ohne Ausfälle, Kündigungen und Geld-Brief-Spanne (Methodik Anlageklassen). Der Look-through nimmt die Duration je Anleihe aus der Positionsliste des Fonds; fehlt sie, rechnet er die modifizierte Duration aus Fälligkeit und Kupon mit jährlichem Kupon (Rendite aus der Datei, sonst gleich dem Kupon, ohne Kupon 3 %) und verteilt sie auf Key Rates von 1 bis 30 Jahren (Methodik Risikofaktoren). Stückzinsen, Spot-Kurven und Z-Spreads rechnet die App nicht.

Häufige Fragen

Wie berechnet man den Preis einer Anleihe?