Risikokennzahlen jenseits der Sharpe Ratio: Treynor, Calmar, Omega, Ulcer Index und mehr
Die Sharpe Ratio ist die bekannteste Kennzahl für Rendite je Risiko, aber nicht die einzige. Die übrigen Risikokennzahlen beantworten jeweils eine etwas andere Frage: Wie viel Rendite gab es je Einheit Marktrisiko (Treynor)? Je Prozent des tiefsten Rückgangs (Calmar)? Wie verhalten sich Gewinne zu Verlusten (Omega, Gain/Loss)? Wie schmerzhaft waren die Rückgänge insgesamt (Ulcer Index)? Dieser Artikel rechnet alle an einem Beispiel durch und zeigt, wann welche sinnvoll ist.
Das gemeinsame Beispiel
Für alle Kennzahlen dient dieselbe Reihe aus zwölf Monatsrenditen eines Mischportfolios. Der risikofreie Zins betrage 2 % pro Jahr, das Beta gegenüber dem Markt 0,9.
Treynor Ratio: Rendite je Marktrisiko
Treynor = (R − r_f) / β- R
- Rendite des Portfolios p. a.
- β
- Beta gegenüber dem Markt, siehe Beta und Alpha
Die Treynor Ratio, benannt nach Jack Treynor, teilt die Überrendite nicht durch die gesamte Volatilität, sondern durch das Beta, also nur durch das Marktrisiko. Im Beispiel: (7,44 − 2) / 0,9 = 6,05. Sie passt für ein Portfolio, das nur ein Baustein in einem großen, gut gestreuten Gesamtvermögen ist: Dort zählt nur der Beitrag zum Marktrisiko, weil sich das übrige Risiko mit anderen Bausteinen ausgleicht. Für ein einzelnes Depot, das das ganze Vermögen ausmacht, ist die Sharpe Ratio passender. Bei einem Beta nahe null wird die Treynor Ratio unbrauchbar groß.
Calmar Ratio: Rendite je tiefstem Rückgang
Calmar = jährliche Rendite / |maximaler Drawdown|- maximaler Drawdown
- größter Rückgang vom Höchststand, siehe Maximum Drawdown
Die Calmar Ratio stammt aus der Welt der Managed Futures (eingeführt von Terry Young) und wurde ursprünglich über die letzten 36 Monate gerechnet. Im Beispiel: 7,44 / 4,10 = 1,82. Sie beantwortet eine Frage, die Anleger intuitiv stellen: Wie viele Jahre Rendite stehen dem schlimmsten Verlust gegenüber? Ihre Schwäche: Sie hängt an einem einzigen Ereignis und an der Länge des Zeitraums (siehe unten). Verwandte Varianten wie die Sterling Ratio teilen durch den Durchschnitt mehrerer großer Drawdowns statt nur des größten.
Ulcer Index: wie tief und wie lange
Ulcer Index = √(Mittelwert der quadrierten Drawdowns)
Martin Ratio = (R − r_f) / Ulcer Index- Drawdown
- prozentualer Abstand zum bisherigen Höchststand in jeder Periode (0 am Höchststand)
Der Ulcer Index von Martin und McCann (1989) misst nicht nur den tiefsten Punkt, sondern alle Phasen unter dem Höchststand: Tiefe Rückgänge zählen durch das Quadrieren stark, lange Phasen unter Wasser zählen durch die vielen Perioden. Damit fasst er das „Magengeschwür“ zusammen, das ein Anleger beim Blick ins Depot erlebt. Im Beispiel liegt das Depot in sieben von zwölf Monaten unter dem Höchststand; der Ulcer Index beträgt 1,93 %, die Martin Ratio (7,44 − 2) / 1,93 = 2,83.
| Monat | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Drawdown in % | 0 | −1,5 | 0 | −4,1 | −2,37 | −1,79 | −3,95 | −0,59 | 0 | −0,8 | 0 | 0 |
Omega und Gain/Loss: Gewinne gegen Verluste
Ω(L) = Σ max(rₜ − L, 0) / Σ max(L − rₜ, 0)
Gain/Loss = Mittel der positiven Renditen / |Mittel der negativen Renditen|- L
- Mindestrendite (Schwelle), oft 0 oder der risikofreie Zins je Periode
Die Omega Ratio, eingeführt von Con Keating und William Shadwick und bei Bacon (2008) mit anderen Kennzahlen ausführlich beschrieben, teilt die Summe aller Gewinne über einer Schwelle durch die Summe aller Verluste darunter. Sie nutzt die ganze Verteilung, nicht nur Mittelwert und Standardabweichung. Schiefe und Fat Tails fließen also ein (siehe Schiefe und Kurtosis). Im Beispiel mit Schwelle 0: 16,1 / 8,6 = 1,87. Ein Wert über 1 heißt: Die Gewinne überwiegen die Verluste.
Die Gain/Loss Ratio vergleicht dagegen den durchschnittlichen Gewinnmonat mit dem durchschnittlichen Verlustmonat: 2,01 / 2,15 = 0,94. Hier liegt sie unter 1, obwohl das Portfolio deutlich gewonnen hat, denn es gab doppelt so viele Gewinn- wie Verlustmonate. Gain/Loss beschreibt also die Größe der Ausschläge, Omega das Gesamtergebnis. Beide zusammen mit dem Anteil positiver Monate ergeben ein gutes Bild. Im Beispiel waren zwei Drittel der Monate positiv; das gleicht die etwas kleineren Gewinnmonate mehr als aus. In der Bewertungstheorie haben Bernardo und Ledoit (2000) ein verwandtes Gain-Loss-Verhältnis genutzt, um Preisgrenzen für Anlagen in unvollständigen Märkten herzuleiten.
M²: Rendite auf gleichem Risiko
M² = Sharpe Ratio × σ_Benchmark + r_f- σ_Benchmark
- Volatilität des Vergleichsindex
Modigliani und Modigliani (1997) haben die Sharpe Ratio in eine Rendite übersetzt: Welche Rendite hätte das Portfolio gebracht, wenn man es durch Hebel oder Beimischung von Geldmarkt auf die Volatilität des Vergleichsindex gebracht hätte? Mit einer Sharpe Ratio von (7,44 − 2) / 8,05 = 0,68 (genauer 0,677) und einer Index-Volatilität von 15 % ergibt sich 0,677 × 15 + 2 = 12,15 %. Der Vorteil: Prozentwerte lassen sich direkt mit der Rendite des Index vergleichen, während Sharpe Ratios abstrakt bleiben.
Upside- und Downside-Capture
Upside Capture = geometr. Mittel des Portfolios in Monaten mit steigendem Index / geometr. Mittel des Index in diesen Monaten- Downside Capture
- dasselbe für Monate mit fallendem Index
Capture Ratios beschreiben, wie ein Fonds sich in steigenden und fallenden Phasen gegenüber seinem Index verhält. Ein defensiver Fonds hat beide Werte unter 100 %; gut ist es, wenn der Downside-Wert deutlich niedriger liegt als der Upside-Wert. Wie alle Kennzahlen dieser Art braucht auch diese viele Monate, um aussagekräftig zu sein.
Welche Kennzahl wofür?
| Kennzahl | Misst | Gut geeignet für |
|---|---|---|
| Sharpe | Rendite je Gesamtschwankung | ganze Depots, Vergleich von Strategien |
| Sortino | Rendite je Abwärtsschwankung | Anlagen mit asymmetrischen Renditen |
| Treynor | Rendite je Marktrisiko (Beta) | Bausteine eines großen Portfolios |
| Information Ratio | Mehrrendite je Abweichung vom Index | aktive Fonds gegen ihren Vergleichsindex |
| Calmar | Rendite je maximalem Drawdown | Strategien mit Fokus auf Verlustbegrenzung |
| Ulcer / Martin | Tiefe und Dauer der Rückgänge | Anleger, die lange Verlustphasen schlecht aushalten |
| Omega | Gewinne zu Verlusten über ganze Verteilung | Hedgefonds, Optionsstrategien |
| M² | Rendite bei gleichem Risiko wie der Index | verständlicher Vergleich mit dem Index |
Die Sortino Ratio und die Information Ratio haben eigene Artikel. Zusammen mit Upside- und Downside-Capture (wie viel der Index-Gewinne und -Verluste ein Portfolio mitmacht) decken diese Kennzahlen die üblichen Fragen ab.
Für Fortgeschrittene: Was Kennzahlen verzerrt
- Zeitraum und Drawdown: Der erwartete maximale Drawdown wächst mit der Länge des Zeitraums. Magdon-Ismail u. a. (2004) zeigen für eine Brownsche Bewegung, dass er bei positivem Drift langfristig logarithmisch, ohne Drift mit der Wurzel und bei negativem Drift linear mit der Zeit wächst. Calmar Ratios aus drei und aus dreißig Jahren sind deshalb nicht vergleichbar.
- Datenfrequenz: Mit Monatsdaten sieht man Drawdowns innerhalb eines Monats nicht; mit Tagesdaten fallen sie tiefer aus. Ulcer Index und Calmar Ratio hängen deshalb von der Frequenz ab.
- Schwelle bei Omega: Ω hängt stark von der gewählten Mindestrendite ab. Für Vergleiche immer dieselbe Schwelle nehmen.
- Beta-Schätzung bei Treynor: Ist das Beta unsicher oder nahe null, schwankt die Treynor Ratio extrem. Sinnvoll nur bei stabilen, deutlich positiven Betas.
- Wenige Ereignisse: Calmar und Ulcer hängen oft an einer einzigen Krise. Mehr Aussagekraft bringt ein Zeitraum mit mehreren Zyklen oder eine Simulation.
So rechnet Portfolio Lab
Im Backtest berechnet Portfolio Lab die Calmar Ratio als CAGR geteilt durch den Betrag des maximalen Drawdowns über den gesamten gewählten Zeitraum (nicht nur 36 Monate). Die Gain/Loss Ratio ist der Durchschnitt der positiven geteilt durch den Betrag des Durchschnitts der negativen Periodenrenditen. Mit Benchmark kommen die Treynor Ratio (annualisierte mittlere Überrendite geteilt durch Beta), M² (Sharpe Ratio der Überrenditen mal Volatilität der Benchmark-Überrenditen, plus mittlerer Zins, annualisiert) sowie Upside- und Downside-Capture über geometrische Mittel hinzu. Omega und Ulcer Index zeigt Portfolio Lab derzeit nicht; die Drawdown-Grafik und die Tabelle der größten Rückgänge zeigen aber Tiefe und Dauer. Details stehen in der Methodik der Kennzahlen.
Häufige Fragen
Was ist eine gute Calmar Ratio?
Über drei Jahre gelten Werte über 1 oft als gut, über 3 als sehr gut. Über längere Zeiträume fallen Calmar Ratios niedriger aus, weil der maximale Drawdown mit der Zeit wächst.
Was ist der Unterschied zwischen Sharpe und Treynor Ratio?
Sharpe teilt die Überrendite durch die gesamte Volatilität, Treynor nur durch das Marktrisiko Beta. Treynor passt für Bausteine eines breit gestreuten Gesamtportfolios.
Was misst der Ulcer Index?
Tiefe und Dauer aller Rückgänge vom Höchststand: die Wurzel aus dem Mittel der quadrierten Drawdowns. Lange Phasen unter Wasser erhöhen ihn ebenso wie tiefe Einbrüche.
Was ist die Omega Ratio?
Die Summe der Gewinne über einer Mindestrendite geteilt durch die Summe der Verluste darunter. Sie berücksichtigt die ganze Verteilung, auch Schiefe und Fat Tails.
Welche Risikokennzahl ist die beste?
Keine allein. Sharpe und Sortino für Rendite je Schwankung, Calmar und Ulcer Index für Rückgänge, Information Ratio für aktive Fonds. Zusammen ergeben sie ein vollständiges Bild.
Warum ist meine Gain/Loss Ratio unter 1, obwohl ich gewonnen habe?
Weil sie nur die durchschnittliche Größe von Gewinn- und Verlustmonaten vergleicht. Gab es viel mehr Gewinn- als Verlustmonate, kann sie unter 1 liegen und das Ergebnis trotzdem positiv sein.
Über welchen Zeitraum sollte ich Kennzahlen vergleichen?
Über denselben Zeitraum mit derselben Datenfrequenz, möglichst mit mindestens einem vollen Börsenzyklus samt Krise. Kennzahlen aus wenigen ruhigen Jahren überschätzen die Qualität fast immer.
Literatur
- Bacon, Carl R. (2008): Practical Portfolio Performance Measurement and Attribution. Wiley, 2. Auflage.
- Bernardo, Antonio E.; Ledoit, Olivier (2000): Gain, Loss, and Asset Pricing. Journal of Political Economy 108 (1), S. 144–172. doi:10.1086/262114
- Magdon-Ismail, Malik; Atiya, Amir F.; Pratap, Amrit; Abu-Mostafa, Yaser S. (2004): On the maximum drawdown of a Brownian motion. Journal of Applied Probability 41 (1), S. 147–161. doi:10.1239/jap/1077134674
- Martin, Peter G.; McCann, Byron B. (1989): The Investor's Guide to Fidelity Funds. Wiley.
- Modigliani, Franco; Modigliani, Leah (1997): Risk-Adjusted Performance. The Journal of Portfolio Management 23 (2), S. 45–54. doi:10.3905/jpm.23.2.45
Dieser Artikel erklärt eine Methode; er ist keine Anlage- oder Steuerberatung. Zahlenbeispiele sind vereinfacht und gerundet. Alle Begriffe im Glossar.